分解(2)在non-primitive ring of integers上

hbghlyj

Math 154. A non-primitive ring of integers

1. X = polygen(ZZ)
2. K.<a> = NumberField(X^3-X^2-2*X-8)
3. ideal(2+0*a).factor()

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(2)可以完全分解为线性因子
(Fractional ideal (-1/2*a^2 - 1/2*a - 1))
* (Fractional ideal (-a^2 - 2*a - 3))
* (Fractional ideal (3/2*a^2 + 5/2*a + 4))
为什么是这样的计算结果？

hbghlyj

PolynomialRemainder[(-1/2*a^2 - 1/2*a - 1) * (-a^2 - 2*a - 3) * (3/2*a^2 + 5/2*a + 4),a^3-a^2-2*a-8,a]
三个多项式的乘积，余数为 $146 a^2 + 258 a + 422$，这与(2)无关，令人费解

hbghlyj

1. X = polygen(ZZ)
2. K.<a> = NumberField(X^3-X^2-2*X-8)
3. K.fractional_ideal(-1/2*a^2 - 1/2*a - 1)* K.fractional_ideal(-a^2 - 2*a - 3)* K.fractional_ideal(3/2*a^2 + 5/2*a + 4)

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相乘后的结果是“Fractional ideal (146*a^2 + 258*a + 422)”，与 2# 相同，而不是 (2)

hbghlyj

(2) 等于其分解的乘积吗？

1. X = polygen(ZZ)
2. K.<a> = NumberField(X^3-X^2-2*X-8)
3. ideal(146*a^2 + 258*a + 422)== ideal(2+0*a)

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True
是的，两个结果相等

但如何证明 $(146a^2 + 258a + 422)= (2)$

$2\mid 146a^2 + 258a + 422\implies(146a^2 + 258a + 422)\subseteq (2)$
PolynomialExtendedGCD[(146 a^2 + 258 a + 422), a^3 - a^2 - 2 a - 8, a]
$$2=(-3a^2+13a-13)(146a^2 + 258a + 422)+2(219a-343)\underbrace{(a^3-a^2-2a-8)}_{=0}$$
$\implies146a^2 + 258a + 422\mid 2$
$\implies(2)\subseteq(146a^2 + 258a + 422)$
因此两个相等

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-19 10:46
(2)可以完全分解为线性因子
(Fractional ideal (-1/2*a^2 - 1/2*a - 1))
* (Fractional ideal (-a^2 - 2*a - 3))
* (Fractional ideal (3/2*a^2 + 5/2*a + 4))

验证了它们相等，但是如何计算出来呢？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-19 11:28
验证了它们相等，但是如何计算出来呢？

見@hbghlyj的回答
ideal (a,a*(a+1)/2)= $\ker\psi_{(1,0,0)}$
ideal (1-a,a*(a+1)/2)= $\ker\psi_{(1,1,0)}$
ideal (1-a*(a+1)/2,a)= $\ker\psi_{(1,0,1)}$
可以驗證這3個理想和上面3個factor()出來的主理想相同：

1. ideal (a,a*(a+1)/2)==ideal (3/2*a^2 + 5/2*a + 4)
2. ideal(1-a,a*(a+1)/2)==ideal (-a^2 - 2*a - 3)
3. ideal(1-a*(a+1)/2,a)==ideal (-1/2*a^2 - 1/2*a - 1)

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hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-20 19:44
可以驗證這3個理想和上面3個factor()出來的主理想相同：

那SageMath是如何看出它們都是主理想的呢？
例如第1個，ideal (a,a*(a+1)/2)==ideal (3/2*a^2 + 5/2*a + 4)
如何把左邊的ideal (a,a*(a+1)/2)寫成右邊的主理想ideal (3/2*a^2 + 5/2*a + 4)呢