已知三角形内两点到三边的距离，求内切圆半径

abababa

$M_1, M_2$为$\triangle ABC$内两点，$M_1, M_2$到三边$a,b,c$的距离分别为$1,3,15$和$4,5,11$，求$\triangle ABC$的内切圆半径。

这个我猜是$7$，就是作点$M_3$与$M_1$关于$M_2$中心对称，然后作$M_1,M_2,M_3$到边$a,b$的垂线，可以得到一些梯形，根据梯形中位线可以求得$M_3$到$a,b$的距离都是$7$。如果能证明$M_1M_2\perp c$，这样的话$M_3$到$c$的距离也是$7$，那么$M_3$就是内心，内切圆半径就是$7$了。但怎么证明垂直呢？

hbghlyj

abababa 发表于 2024-2-19 11:35
$M_1, M_2$到三边$a,b,c$的距离分别为$1,3,15$和$4,5,11$

从这个条件等价于
$2S=1a+3b+15c=4a+5b+11c$
$r=\frac{2S}{a+b+c}$

kuing

hbghlyj 发表于 2024-2-19 19:37
从这个条件等价于
$2S=1a+3b+15c=4a+5b+11c$
$r=\frac{2S}{a+b+c}$

嗯，由 `1a+3b+15c=4a+5b+11c` 得
\begin{align*}
1a+3b+15c&=k(1a+3b+15c)+(1-k)(4a+5b+11c)\\
&=(4-3k)a+(5-2k)b+(11+4k)c,
\end{align*}
令 `4-3k=5-2k=11+4k` 恰好有解 `k=-1`，代回得 `1a+3b+15c=7(a+b+c)`，所以 `r=7`。

也就是说这题的数据不能随便写……用专业术语来说是不是应该说……“线性组合”？

abababa

kuing 发表于 2024-2-19 21:23
嗯，由 `1a+3b+15c=4a+5b+11c` 得
\begin{align*}
1a+3b+15c&=k(1a+3b+15c)+(1-k)(4a+5b+11c)\\

原来如此。