$O$是正$\triangle ABC$中心，$ABD,ACD$内切圆为$\odot I_1,\odot I_2$，求外公切线长

abababa

正$\triangle ABC$中心为$O$，$D$在弧$BC$上，$\triangle ABD,\triangle ACD$的内切圆分别是$\odot I_1,\odot I_2$，求证两圆外公切线长为$AB-\frac{AD}{2}$。

这题我设了$\angle BAD=x$，然后全用$x$的三角函数代入的，求出两圆半径$r_1,r_2$，连心线长$I_1I_2$是在$\triangle I_1I_2D$中用余弦定理算的。最后外公切线长的平方是$EF^2=3r_1^2-2r_1r_2+3r_2^2$，再代入$r_1=R(\cos(60^{\circ}-x)-\frac{1}{2}),r_2=R(\cos x-\frac{1}{2})$（用了$\frac{r}{R+r}=\cos A+\cos B+\cos C$这个结论在两个三角形里求出来的）就弄出来了。

有没有更简捷一点的方法来算这个公切线长？