$P$是$\odot O$内接四边形$ABCD$内一点，$O_i$是几个外心，证$O_1O_3,O_2O_4,OP$共点

abababa

$P$是$\odot O$内接四边形$ABCD$内一点，$O_1,O_2,O_3,O_4$分别是$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCD,\triangle PDA$的外心，求证$O_1O_3,O_2O_4,OP$三线共点。

原证明是用了反演，但我看不懂：
以$P$为中心，$P$关于$\odot O$的幂为反演幂作反演变换。在此变换下$\odot O_2$变为$AD$，直线$PO_2$变为自身。由于$PO_2$与$\odot O_2$正交（过圆心），所以反形也正交，即$PO_2\perp AD$，显然还有$OO_4\perp AD$，所以$PO_2\sslash OO_4$，同理可知$OO_2PO_4$是平行四边形，对角线交点是$OP$中点$K$，同理可知$PO_1OO_3$也是平行四边形，对角线交点也是$OP$中点$K$。

红色的字，反演变换下$\odot O_2$的像不是$AD$啊。这题要怎么用反演来证明？

abababa

hbghlyj 发表于 2024-2-27 17:25
$B\leftrightarrow D$
$C\leftrightarrow A$
$P\leftrightarrow\infty$

我有点明白这是怎么回事了，反演幂为$OP^2-r^2$，但这是个负数，那么反演点其实应该是反向的，也就是如果取反演幂为$\abs{OP^2-r^2}$，这样作出反演圆，将$C$反演后得到$C'$，那么$A,C'$关于点$P$对称。

那这样的话，在作图上要怎么办到呢？用GeoGebra画图时，不能画一个虚圆，画那个实圆时，再画反演点就像开始说的那样，并不是本来要的那样。