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本帖最后由 hejoseph 于 2024-2-29 11:34 编辑 我的大概想法：假设两已知圆的距离为 $a$，到反演圆圆心的距离分别为 $d_1$、$d_2$，两圆半径分别为 $r_1$、$r_2$，要反演后半径相等可得
\[
\left|\frac{1}{d_1-r_1}-\frac{1}{d_1+r_1}\right|=\left|\frac{1}{d_2-r_2}-\frac{1}{d_2+r_2}\right|
\]
由此得 $r_2d_1^2-r_1d_2^2=r_1r_2(r_1-r_2)$ 以及 $r_2d_1^2+r_1d_2^2=r_1r_2(r_1+r_2)$，若反演圆圆心都在已知圆外或都在已知圆内则取 $r_2d_1^2-r_1d_2^2=r_1r_2(r_1-r_2)$，若反演圆在一个已知圆内而在另一个已知圆外则取 $r_2d_1^2+r_1d_2^2=r_1r_2(r_1+r_2)$。
设两圆圆心分别为 $(a/2,0)$、$(-a/2,0)$，则由 $r_2d_1^2-r_1d_2^2=r_1r_2(r_1-r_2)$ 得反演圆圆心得方程为
\[
\left(x+\frac{a(r_1+r_2)}{2(r_1-r_2)}\right)^2+y^2=r_1r_2\left(\frac{a^2}{(r_1-r_2)^2}-1\right)
\]
由 $r_2d_1^2+r_1d_2^2=r_1r_2(r_1+r_2)$ 得反演圆圆心得方程为
\[
\left(x+\frac{a(r_1-r_2)}{2(r_1+r_2)}\right)^2+y^2=r_1r_2\left(1-\frac{a^2}{(r_1+r_2)^2}\right)
\]
这两个轨迹方程都是圆，后续还要做一些讨论来判别对已知圆的位置。
两已知圆方程为
\begin{align}
&\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=r_1^2\label{eq1}\\
&\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+y^2=r_2^2\label{eq2}
\end{align}
$r_2(\ref{eq1})-r_1(\ref{eq2})$ 就能得到第一个圆的轨迹方程，$r_2(\ref{eq1})+r_1(\ref{eq2})$ 就能得到第二个圆的轨迹方程，因此若两已知圆有交点，则必定在反演圆圆心的轨迹上，也就是说除了交点以外，反演圆圆心的轨迹必定是以下四种情形之一：（a）同在已知圆外，（b）同在已知圆内，（c）一部分同在已知圆外另一部分同在已知圆内，（d）在一已知圆外且在另一已知圆内，由此可知若轨迹存在，则轨迹必定是整个圆除去两已知圆的交点。
若两已知圆外离或外切，则只有第一种轨迹存在；若两已知圆相交，则两种轨迹都存在；若两圆内含或内切，则只有第二种轨迹存在。
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hejoseph
Post time 2024-2-29 09:41
