凸四边形内切圆圆心的轨迹方程

lemondian

凸四边形$ABCD$中，$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$，且$a+c=b+d=p$，当边$AB$固定时，求四边形$ABCD$内切圆圆心的轨迹方程。

hejoseph

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=11974&pid=58067
在这个帖子的 11# 已经我给了答案了

hejoseph

只对凸四边形的情形进行证明，凹四边形和退化为三角形的情形类似可证。设凸四边形$ABCD$的内切圆半径是 $r$，点 $A$、$B$、$C$、$D$ 到内切圆切点的切线长分别为 $w$、$x$、$y$、$z$，则
\[
w + x = a ， x + y = b ， y + z = c ， z + w = d ，
\]
于是
\[
x = a - w ， y = b - x = b - a + w ， z = d - w ， w + x + y + z = a + c = b + d ，
\]
所以
\[
r^2 = \frac{wxy + wxz + wyz + xyz}{w + x + y + z} = \frac{cwx + ayz}{p} = \frac{ad(b - a) + 2adw - (a + c)w^2}{p} ，
\]
即
\[
\left(w - \frac{ad}{p}\right)^2 + r^2 = \frac{abcd}{p} ，
\]
所以凸四边形 $ABCD$ 的内切圆圆心的轨迹是一段圆弧，其中圆弧的圆心在线段 $AB$ 内，并且到点 $A$ 和点 $B$ 的距离之比是 $d : b$，半径是$\dfrac{\sqrt{abcd}}{p}$。

上面用到利用切线长计算内切圆半径的结论可用上面链接里的正切的方法。