两三角形同向相似但不全等，对应边交点共线，求证两外接圆有交点

abababa

$\triangle ABC, \triangle A'B'C'$同向相似但不全等，两三角形对应边的交点$XYZ$共线，求证$\odot(ABC), \odot(A'B'C')$相交。

这个题我证出来了，但是画图时要怎么画出同向相似但不全等，并且对应边交点还共线？上面只是个示意图，实际上图里的两个三角形不相似。

hbghlyj

画3条直线交于一点$P$，画两个圆$O,O'$经过$P$，
画圆$O$与3条直线的交点$A,B,C$，画圆$O'$与3条直线的交点$A',B',C'$.

abababa

hbghlyj 发表于 2024-3-5 04:48
画3条直线交于一点$P$，画两个圆$O,O'$经过$P$，
画圆$O$与3条直线的交点$A,B,C$，画圆$O'$与3条直线的交点 ...

原来如此。

hbghlyj

abababa 发表于 2024-3-5 10:44
原来如此。

但這假定兩圓通過$P$。一般情況呢？

abababa

hbghlyj 发表于 2024-3-5 19:08
但這假定兩圓通過$P$。一般情況呢？

这个证出来之后，就是这两个圆必定相交，其中一个交点就是$P$，并且这两个圆不是相切的情况，就得是有两个交点。
第一步先用笛沙格定理证明$AA',BB',CC'$共点或平行，然后证明不可能是平行的情况，反证法就能证明，就是写起来有点麻烦，所以必然共点于$P$。

然后$X,Y,Z,A,B,C,A',B',C'$这些点里有一些共圆的点，最后能得到$A,B,C,P$共圆，$A',B',C',P$也共圆，所以两圆至少有一个交点$P$。再证明$P$不是切点，假设是切点，过$P$作公切线，能证明出$AC\sslash A'C'$，同理能证明$BC\sslash B'C', AB\sslash A'B'$，这样对应边交点就都是无穷远点，与已知条件对应边交点是$X,Y,Z$矛盾，所以$P$不是切点，最后只能是相交的情况。