$BDFE$内接于$\odot O$，对边交于$A$对角线交于$T$，$AC//EF$交$BD$于$C$，中点$M$

abababa

四边形$BDFE$内接于$\odot O$，直线$BE, DF$交于点$A$，直线$BF, DE$交于点$T$，$AC\sslash EF$交$BD$于$C$，点$M$为$AT$的中点，求证$CM\perp OA$。

这题有没有什么射影几何的证法？感觉很像完全四边形和调和点列的问题。

kuing

设 EF 交 BD 于 G，TG 交 AC 于 H，则由调和及平行得 G 为 AH 中点，从而 MC // TH，而 TH 为 A 的极线，所以 TH⊥AO，所以 MC⊥AO。

主题分类选一下。

abababa

kuing 发表于 2024-3-5 19:15
设 EF 交 BD 于 G，TG 交 AC 于 H，则由调和及平行得 G 为 AH 中点，从而 MC // TH，而 TH 为 A 的极线，所 ...

谢谢。后面的都明白了，就是怎么证明$C$是$AH$的中点我还没弄明白，$(AH,C\infty)$是一个要证明的调和点列，然后往哪个已知的调和点列上投影呢？

kuing

abababa 发表于 2024-3-5 20:17
谢谢。后面的都明白了，就是怎么证明$C$是$AH$的中点我还没弄明白，$(AH,C\infty)$是一个要证明的调和点 ...

设 AT 交 EF、BD 于 I、J，则 A、I、T、J 调和，然后 AG、IG、TG、JG 与直线 AC 的交点就是 A、`\infty`、H、C。

isee

abababa 发表于 2024-3-5 20:17
谢谢。后面的都明白了，就是怎么证明$C$是$AH$的中点我还没弄明白，$(AH,C\infty)$是一个要证明的调和点 ...

性质 2 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=7306&pid=36658

abababa

kuing 发表于 2024-3-5 21:13
设 AT 交 EF、BD 于 I、J，则 A、I、T、J 调和，然后 AG、IG、TG、JG 与直线 AC 的交点就是 A、`\infty` ...

原来如此，我只在四边形的边上找那个调和点列了，所以没找到，这些交点也构成调和点列。