三角形周长的最小值

aishuxue

在三角形ABC中，AC=2，角ABC的角平分线交AC于点D，BD=1，求三角形ABC周长的最小值。

aishuxue

不知是否有初中纯几何方法'？

isee

大多数涉及角分线的题都比较麻烦.
此题明确的面向高中生，因此直接用角分线长公式\[BD=t_a=\frac{\sqrt{(b+c+a)(b+c-a)bc}}{b+c},\]
再依均值不等式放缩就到得 $b+c\geqslant 2\sqrt2$，当且仅当 $b=c$ 时取得等号.

睡神

isee 发表于 2024-3-7 00:16
大多数涉及角分线的题都比较麻烦.
此题明确的面向高中生，因此直接用角分线长公式\[BD=t_a=\frac{\sqrt{(b+ ...

我比较菜，也记不住那些啥啥的公式，一般遇上角平分线长直接上等面积。。。

设$ \angle ABC=2\theta$，则$\dfrac{1}{2}ac\sin2\theta=\dfrac{1}{2}a\sin\theta+\dfrac{1}{2}c\sin\theta$

化简得：$\cos\theta=\dfrac{a+c}{2ac}$

由余弦定理得：$4=a^2+c^2-2ac\cos2\theta=(a+c)^2-4ac\cos^2\theta=(a+c)^2-\dfrac{(a+c)^2}{ac}\le (a+c)^2-4$

isee

睡神 发表于 2024-3-7 13:21
我比较菜，也记不住那些啥啥的公式，一般遇上角平分线长直接上等面积。。。

设$ \angle ABC=2\theta$， ...

其实也是这么推导的

睡神

isee 发表于 2024-3-7 21:01
其实也是这么推导的

好像也可以用$BD^2=BA\cdot BC-AD\cdot DC$，再结合$\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AD}{DC}$