同心圆变到圆和椭圆

hbghlyj

题 7 (6 分) 给定平面上一对同心圆 $\Gamma, S$, 其中 $S$ 在外围, 记 $S$ 的圆心为 $O$。现在任作一个该平面上的射影变换 $\phi$, 使得 $\phi(S)=S$, 而 $\phi(\Gamma)=\Gamma^{\prime}$ 是包含于 $S$ 内部不同于 $\Gamma$ 的一条椭圆。有人猜想, 这样的椭圆 $\Gamma^{\prime}$ 必定不是圆, 且短轴所在的直线经过 $O$ 点。 如果你同意这个猜想, 试予以证明。如果你不同意, 试给出你的理由或反例。

hbghlyj

$S,\Gamma$是同心圆，可以设它们的方程为$S:x^2+y^2-z^2=0$、$\Gamma:x^2+y^2-r^2z^2=0\;(0<r<1)$.
显然
\[\Gamma=x^2+y^2-r^2z^2=(x^2+y^2-z^2)+(1-r^2)z^2\]
所以3条二次曲线
\begin{align*}
S:x^2+y^2-z^2&=0\\
\Gamma:x^2+y^2-r^2z^2&=0\\
z^2&=0
\end{align*}
线性相关（它们确定的二次曲线系就是所有O为中心的圆）。
射影变换后，$S$、$\Gamma'$、$\phi(z^2=0)$仍线性相关。
设$L:=\phi(z=0)$是一条直线，且和$S$没有实交点，可以设$L=(x-uz),u\inR,u>1$.
$S$、$\Gamma'$、$L^2$线性相关，那么存在$λ\inR,$
$$\Gamma'=(1-λ)S+λL^2$$
即
\begin{align*}\Gamma'&=(1-λ)(x^2+y^2-z^2)+λ(x-uz)^2\\&=(x-\lambda  u z)^2+(1-\lambda)y^2+(1-\lambda)\left(\lambda  u^2 -1\right)z^2
\end{align*}
因为$\Gamma'$是在$S$内的椭圆，所以 $\lambda>0\land1-\lambda>0\land\lambda  u^2 -1<0$，而$u>1$，简化为
\[0<\lambda<u^{-2}\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-8 17:23
且短轴所在的直线经过 $O$ 点。

$\Gamma^{\prime}$的$x^2$项系数$=1$，$y^2$项系数$=1-\lambda$
$\lambda>0\implies1>1-\lambda\implies\Gamma'$短轴所在的直线$y=0$经过 $O$ 点

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-8 17:23
$\Gamma^{\prime}$ 必定不是圆

$\Gamma^{\prime}$的$x^2$项系数$=1$，$y^2$项系数$=1-\lambda$
$\Gamma^{\prime}\ne\Gamma\implies\lambda\ne0\implies1\ne1-\lambda\implies\Gamma^{\prime}$ 不是圆

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-9 10:33
因为$\Gamma'$是在$S$内的椭圆，所以 $\lambda>0$.

怎么证明$\lambda>0$？
从图上看应该是对的，但是怎么证明这个呢……

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-11 16:22
怎么证明$\lambda>0$？
从图上看应该是对的，但是怎么证明这个呢……

先写成椭圆标准方程
\[\Gamma':\frac{(x-\lambda  u z)^2}{(1-\lambda)(1-\lambda  u^2)}+\frac{y^2}{1-\lambda  u^2}=1\]
$\Gamma'$在$S$内部，而$S$的半径是1，所以$(1-\lambda )(1-\lambda  u^2)<1$，所以
$$1-(1-\lambda )(1-\lambda  u^2)=\lambda  \left((1-\lambda ) u^2+1\right)>0$$
而$1-\lambda>0$，所以因式$\left((1-\lambda ) u^2+1\right)>0$，得到$\lambda>0$.