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abababa
Posted at 2024-3-9 15:14:08
- \documentclass[10pt]{article}
- \usepackage{amsmath,yhmath}
- % 字体
- \usepackage{xltxtra,fontspec,xunicode}
- \usepackage[slantfont,boldfont]{xeCJK}
- % 公式中直接使用中文，不用加\text{}
- \xeCJKsetup{CJKmath=true}
- \punctstyle{kaiming}
- \usepackage{lipsum}
- \usepackage[inline]{asymptote}
- \begin{document}
- 题：$M$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}, (a>0, b>0)$上异于顶点的任意一点，双曲线焦点为$F_1(-c,0), F_2(c,0)$，$\angle MF_1F_2=\alpha, \angle MF_2F_1=\beta$，求$\tan\frac{\alpha}{2}\cdot\cot\frac{\beta}{2}$。
- \begin{asydef}
- settings.prc = true;
- settings.embed = true;
- import three;
- import math;
- import geometry;
- import graph3;
- import texcolors;
- point perpAt(point C, line l) {
- line m = perpendicular(C, l);
- return intersectionpoint(m, l);
- }
- \end{asydef}
- \begin{asy}
- size(5cm,0);
- point F1=(-2,0), F2=(2,0), M=(1.5,3.5);
- hyperbola h=hyperbola(F1, F2, M);
- point I=incenter(F1,F2,M);
- point T=perpAt(I, line(F1,F2));
- circle c=circle(I,length(segment(I,T)));
- segment IF1=segment(I,F1);
- segment IF2= segment(I,F2);
- segment IT=segment(I,T);
- currentpen=OliveGreen+linewidth(1);
- draw(h);
- draw(M--F1--F2--cycle);
- currentpen=Purple+linewidth(1);
- draw(c);
- for(segment s:new segment[]{IF1,IF2,IT}) {
- draw(s);
- }
- currentpen=blue+fontsize(8);
- for(point pp:new point[]{F1,F2,M}) {
- dot(pp);
- }
- currentpen=purple+fontsize(8);
- for(point pp:new point[]{I,T}) {
- dot(pp);
- }
- // 虚拟点，扩展可视范围
- dot((0,-2),invisible);
- currentpen=blue+fontsize(8);
- label("$F_1$", F1, align=SW);
- label("$F_2$", F2, align=SE);
- label("$M$", M, align=NE);
- currentpen=purple+fontsize(8);
- label("$I$", I, align=NW);
- label("$T$", T, align=SE);
- \end{asy}
- 证明：作$\triangle MF_1F_2$的内切圆$\odot I$，设其与$F_1F_2$切于点$T$。于是
- \[\tan\frac{\alpha}{2}\cdot\cot\frac{\beta}{2}=\frac{IT}{F_1T}\cdot\frac{F_2T}{IT}=\frac{F_2T}{F_1T}\]
- 由于$F_1T+F_2T=2c, F_1T-F_2T=MF_1-MF_2=2a$，所以$F_1T=a+c, F_2T=c-a$，所以$\frac{F_2T}{F_1T}=\frac{c-a}{c+a}$，即$\tan\frac{\alpha}{2}\cdot\cot\frac{\beta}{2}=\frac{c-a}{c+a}$。
- \end{document}
如上代码，文件名为index.tex。编译时先xelatex index，再asy *.asy，最后再xelatex index，在index.log里就能看到这几个警告。警告和主楼的那个不太一样，觉得可能是字体的问题，这里我没设置字体。如果把作图那部分删除，就不会出警告。
另外不知道什么原因，作图之后的证明部分字体颜色都变成紫色了，但不影响主楼的问题。 |
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爪机专用
Posted at 2024-3-9 14:02:57
kuing
Posted at 2024-3-9 15:31:50
