求证$QS:SP''$为定值

hbghlyj

$S$、$S'$ 为固定点，L为固定直线。
对平面上每个点$P$，直线$S'P$与直线L交于$Z$，过$S'$作$SP$的平行线与直线$SZ$交于$P'$.
设$SP$交L于$A$，点$Q$是$P$关于以$A$为中心、过$S$的圆的反演。
点$P'$经过平移$\vv{S'S}$到点$P''$.
求证$QS:SP''$为定值。

来源：这帖说

可以把对合右乘一个“关于S缩放$-C^{-1}$倍”就能构造出所有的“保持过S的所有直线不变”的射影变换。

按原帖的几何构造复合一个平移 SS’，则$P\mapsto P''$是“保持过S的所有直线不变”的射影变换，所以它是一个关于S的缩放变换复合一个对合。题中的定值$QS:SP''$就是这个缩放变换的比。按这样做是可以证明的，但是感觉绕远了，有没有更加简单的方法？

hbghlyj

化简一下：等价于证$P'Q$与SS’交于定点，那么问题变为

$S$、$S'$ 为固定点，L为固定直线。
对平面上每个点$P$，直线$S'P$与直线L交于$Z$，过$S'$作$SP$的平行线与直线$SZ$交于$P'$.
设$SP$交L于$A$，点$Q$是$P$关于以$A$为中心、过$S$的圆的反演。
求证$QP'$和$SS'$的交点在L上。

hbghlyj

刚转发到MSE，然后过了几分钟我自己做出来了，自问自答了一下