"近似费马方程" $x^3 = y^3 + z^3±1$

hbghlyj

这个帖子讨论了Fermat Equation $x^3 = y^3 + z^3 $

近似费马方程 $x^3 = y^3 + z^3$ 加或减 1
简单地执行验证：
\begin{align*}
6^3 + 8^3 + 1
      & = 216 + 512 + 1\\
&= 729\\
& = 9^3
\end{align*}


\begin{align*}
64^3 + 94^3 - 1
&= 262 \, 144 + 830 \, 584 - 1
\\&= 1 \, 092 \, 727\\&= 103^3
\end{align*}还有其他解吗

睡神

应该有无穷多组解，比如$x^3=y^3+z^3+1,0<x<1000$还有：{144, 71, 138}，{172,135,138}，{505,372,426}，{577,426,486}，{729,242,720}，{904,566,823}，当然$y$与$z$对调也是一组解
$x^3=y^3+z^3-1$这个更明显，$x=y,z=1$时就有无穷多组解

hbghlyj

睡神 发表于 2024-3-13 13:58
还有：{144, 71, 138}，{172,135,138}，{505,372,426}，{577,426,486}，{729,242,720}，{904,566,823}，

如何证明有无穷多个解满足x,y,z>1

睡神

hbghlyj 发表于 2024-3-13 22:09
如何证明有无穷多个解满足x,y,z>1

证明无穷解不难，找出所有的解就真的难...

令$x=1+t(y+z),t\in (0,1)$，代入$x^3=y^3+z^3+1$化简得：

$t(y+z)[3+3t(y+z)+t^2(y+z)^2]=(y+z)(y^2-yz+z^2)=\dfrac{1}{4}(y+z)[(y+z)^2+3(y-z)^2]$

约去$y+z$得：$4t[3+3t(y+z)+t^2(y+z)^2]=(y+z)^2+3(y-z)^2$

令$u=y+z,v=y-z$，则$4t(3+3tu+t^2u^2)=u^2+3v^2$

取$t=\dfrac{12}{19}$，则$(53u+16416)^2-1090581v^2=266729904$

易知$12|u,12|v$，令$u=12a,v=12b$          (这一步和下一步考虑错了，待更改)

化简得：$(53a+1368)^2-1090581b^2=1852291$

后面就得到一个Pell方程

我取$t=\dfrac{12}{19}$的原因，在于发现{505,372,426}和{577,426,486}的$t$都是$\dfrac{12}{19}$

青青子衿

hbghlyj 发表于 2024-3-13 22:09
如何证明有无穷多个解满足x,y,z>1

好像拉马努金有公式解
(1 - 9 t^3)^3 + (9 t^4)^3 + (3 t - 9 t^4)^3 // Factor

hejoseph