四边形各边中点，证平行

kuing

如图，`E`, `F`, `G`, `H` 为 `AB`, `BC`, `CD`, `DA` 中点，`AF` 交 `BH` 于 `M`，`DF` 交 `CH` 于 `N`，证明 `MN\px EG`。

昨天网友问的，我想不出几何法，感觉似曾相识，但在论坛上也没找到。@isee @乌贼 @睡神 @…………

睡神

记忆中初中时代的奥数基础有这个题，不过我是个几何渣渣，几何弱到爆炸~

kuing

写一个向量法：

如果 `AD\px BC` 那结果显然成立，以下设直线 `AD` 与 `BC` 交于 `O`。

记 `\vv{OH}=\bm a`, `\vv{OF}=\bm b`，由中点可设 `\vv{OA}=(1+x)\bm a`, `\vv{OD}=(1-x)\bm a`, `\vv{OB}=(1+y)\bm b`, `\vv{OC}=(1-y)\bm b`，由 `2\vv{EG}=\vv{EA}+\vv{AD}+\vv{DG}+\vv{EB}+\vv{BC}+\vv{CG}=\vv{AD}+\vv{BC}` 可得 `\vv{EG}=-x\bm a-y\bm b`。

由 `M` 为 `AF` 与 `BH` 的交点可知存在实数 `\lambda`, `\mu` 使得
\begin{align*}
\vv{OM}&=\lambda\vv{OA}+(1-\lambda)\vv{OF}=\lambda(1+x)\bm a+(1-\lambda)\bm b,\\
\vv{OM}&=\mu\vv{OB}+(1-\mu)\vv{OH}=\mu(1+y)\bm b+(1-\mu)\bm a,
\end{align*}
于是有
\[\led
\lambda(1+x)&=1-\mu,\\
\mu(1+y)&=1-\lambda
\endled
\riff
\led
\lambda&=\frac y{x+y+xy},\\
\mu&=\frac x{x+y+xy},
\endled\]
所以
\[\vv{OM}=\left(1-\frac x{x+y+xy}\right)\bm a+\left(1-\frac y{x+y+xy}\right)\bm b,\]
同理可得 `\vv{ON}`（即上式的 `x`, `y` 变成 `-x`, `-y`）为
\[\vv{ON}=\left(1+\frac x{-x-y+xy}\right)\bm a+\left(1+\frac y{-x-y+xy}\right)\bm b,\]
相减得
\begin{align*}
\vv{MN}&=\left(\frac1{-x-y+xy}+\frac1{x+y+xy}\right)(x\bm a+y\bm b),\\
&=-\left(\frac1{-x-y+xy}+\frac1{x+y+xy}\right)\vv{EG},
\end{align*}
所以平行。

isee

绝对是乌贼的口味~

hejoseph

这个证明来自几何大家玩微信群里的用户：雨中


这个证明来自几何大家玩微信群里的用户：金磊

kuing

hejoseph 发表于 2024-3-25 15:04
这个证明来自几何大家玩微信群里的用户：雨中

这个证明来自几何大家玩微信群里的用户：金磊

谢谢提供😊

确实，条件可以一般化为：`E`, `G` 为中点，`F`, `H` 满足 `BF:FC=AH:HD`。

我那向量证法也适用，只需稍微改下即可：

依旧记 `\vv{OH}=\bm a`, `\vv{OF}=\bm b`，设 `BF:FC=AH:HD=1:k`，则可设 `\vv{OA}=(1+x)\bm a`, `\vv{OD}=(1-kx)\bm a`, `\vv{OB}=(1+y)\bm b`, `\vv{OC}=(1-ky)\bm b`，然后 `2\vv{EG}=\vv{AD}+\vv{BC}=-(k+1)(x\bm a+y\bm b)`。

接下来 `\vv{OM}` 的表达式还是
\[\vv{OM}=\left(1-\frac x{x+y+xy}\right)\bm a+\left(1-\frac y{x+y+xy}\right)\bm b,\]
而 `\vv{ON}` 则是将上式的 `x`, `y` 变成 `-kx`, `-ky`，为
\[\vv{ON}=\left(1+\frac x{-x-y+kxy}\right)\bm a+\left(1+\frac y{-x-y+kxy}\right)\bm b,\]
相减得
\begin{align*}
\vv{MN}&=\left(\frac1{-x-y+kxy}+\frac1{x+y+xy}\right)(x\bm a+y\bm b),\\
&=-\frac2{k+1}\left(\frac1{-x-y+kxy}+\frac1{x+y+xy}\right)\vv{EG}.
\end{align*}

hbghlyj

hejoseph 发表于 2024-3-25 07:04
这个证明来自几何大家玩微信群里的用户：金磊

消点法😃

见 《新概念几何》和《几何新方法和新体系》张景中

羊羊羊羊

设坐标系解析直线交点后求斜率即可：

乌贼

最近没时间，没心思上网！！！