本帖最后由 hbghlyj 于 2023-9-8 16:52 编辑
区间 $\left[n, n^2\right](n \geq 2)$ 中必有素数. 证明:
引理 对素数 $p$, $n !$ 的质因分解式中素数 $p$ 的指数为 $k=\sum_{j=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^j}\right]$
以 $\pi(n)$ 表示不超过 $n$ 的素数的个数, 比如 $2,3,5,7,11 \leq 11$,所以 $\pi(11)=5$,
因为 $C_{2 n}^n=\frac{(2 n) !}{n ! n !}$,所以对任意素数 $p \leq 2 n$, 设 $p^r \leq 2 n<p^{r+1}, r \in\Bbb Z$,
则 $C_{2 n}^{n}$ 中 $p$ 的次数为 $\sum_{k=1}^r\left(\left[\frac{2 n}{p^k}\right]-2\left[\frac{n}{p^k}\right]\right) \leq \sum_{k=1}^r 1=r$,
记 $m=\pi(2 n)$, 所以 $C_{2 n}^n$ 的质因分解 $C_{2 n}^n=\prod_{k=1}^m p_k^{r_k} \leq \prod_{k=1}^m(2 n)=(2 n)^m=(2 n)^{\pi(2 n)}$,
而 $C_{2 n}^{n}=\frac{2 n \cdot(2 n-1) \cdots \cdots(n+1)}{n !}=2\left(2+\frac{1}{n-1}\right)\left(2+\frac{2}{n-2}\right) \cdots\left(2+\frac{n-1}{1}\right) \geq 2^{n}$,
所以 $2^n \leq(2 n)^{\pi(2 n)}, \pi(2 n) \geq \frac{n}{\log _2(2 n)}$, 由此可得 $\pi(n) \geq \frac{n-1}{2 \log _2 n}$,
如果 $\left[n, n^2\right]$ 内无素数, 那么 $\pi(n)=\pi\left(n^2\right)$,
所以 $\frac{n}{2} \geq \pi(n)=\pi\left(n^2\right) \geq \frac{n^2-1}{2 \log _2 n^2}$, 所以 $2 \log _2 n \geq \frac{n^2-1}{n}>n-1 \Leftrightarrow n^2>2^{n-1}$,
而当 $n \geq 10$ 时,$$2^{n-1}=\frac{2^{n+1}}{4}=\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{n+1} C_{n+1}^k>\frac{1}{4} \sum_{k=2}^{n-1} C_{n+1}^k>\frac{1}{4} \sum_{k=2}^{n-1} C_{n+1}^2=\frac{n-2}{8} n(n+1)>n^2$$
与 $n^2>2^{n-1}$ 矛盾, 所以此时 $\left[n, n^2\right]$ 内有素数, 而 $2 \leq n<10$ 时, 检验知 $\left[n, n^2\right]$ 内也有素数, 得证. |
hbghlyj
Post time 2023-4-24 04:10
