证明曲线有界

hbghlyj

曲线60x⁴ - 240x³ + 72x² y² + 345x² - 80x y² - 210x + 12y⁴ + 57y² + 45=0
WolframAlpha

这帖说它包含于Circle((1,0), (1.5, 0))，如何证明呢？

hbghlyj

把(1,0)平移到(0,0)，变成-15 x^2 + 60 x^4 + 49 y^2 + 64 x y^2 + 72 x^2 y^2 + 12 y^4 = 0
问题变成：
若$-15 x^2 + 60 x^4 + 49 y^2 + 64 x y^2 + 72 x^2 y^2 + 12 y^4 = 0$，则$\sqrt{x^2+y^2}\le0.5$.

kuing

hbghlyj 发表于 2024-3-29 13:34
把(1,0)平移到(0,0)，变成-15 x^2 + 60 x^4 + 49 y^2 + 64 x y^2 + 72 x^2 y^2 + 12 y^4 = 0
问题变成：
若$-15 x^2 + 60 x^4 + 49 y^2 + 64 x y^2 + 72 x^2 y^2 + 12 y^4 = 0$，则$\sqrt{x^2+y^2}\le1.5$.

\begin{align*}
&{-}15x^2+60x^4+49y^2+64xy^2+72x^2y^2+12y^4=0\\
\iff{}&\frac{(1-4x^2-4y^2)(15x^4+2x^2y^2+3y^4)}{x^2+y^2}=\frac{4y^2(5x^2+9y^2)}{x^2+y^2}+16(1+2x)^2y^2,
\end{align*}
所以 `x^2+y^2\leqslant1/4`。