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本帖最后由 kuing 于 2024-4-1 15:06 编辑 生如夏花(2365*****) 2024/4/1 8:16:21
35题
35. 由条件得
\[\frac a{1+a}=\frac1{1+b}+\frac1{1+c}+\frac1{1+d}\geqslant\frac3{\sqrt[3]{(1+b)(1+c)(1+d)}},\]
同理有另外三式，四式相乘即得 `abcd\geqslant3^4`。
36. 类似地有
\[\frac1{1+a^2}=\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}+\frac{d^2}{1+d^2}\geqslant\frac{3\sqrt[3]{b^2c^2d^2}}{\sqrt[3]{(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)}}\]
等四式相乘得 `1\geqslant3^4a^2b^2c^2d^2` 即 `abcd\leqslant1/9`。
群里也有说到三角换元，提问者也说这套题确实是在三角函数那块出的。
而我就说“三角实属多余，最后肯定还是类似方式去均值”，大概酱紫：
`a=\tan^2x` 等，变成 `\sum\cos^2x=1` 证 `\prod\sin^2x\ge81\prod\cos^2x`，然后
`\sin^2x=\cos^2y+\cos^2z+\cos^2w\ge3\sqrt[3]{\cos^2y\cos^2z\cos^2w}` 等四式相乘
道理是一样嘀
其实就算换元，直接令 `1/(1+a)=x` 等，得 `a=1/x-1=(y+z+w)/x` 这样也比三角好看点。
PS、
37 题见《数学憋间》2013 年第 2 期 P.21~22 题目 3.1.2。
38 题太常见就懒得翻帖子了。
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