n次曲线在两个不同点处的切线相同，求证n≥4.

hbghlyj

n次曲线在两个不同点处的切线相同，求证n≥4.
n=2时显然不能。还剩n=3，如何证明3次曲线在不同点处的切线不同？

hbghlyj

懂了。n次曲线在两个不同点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$处的切线相同，不妨设$x_1\ne x_2$，则消去x后的多项式被$(x-x_1)^2(x-x_2)^2$整除，所以$n≥4$.

Wikipedia › Bitangent
Bézout's theorem implies that an algebraic plane curve with a bitangent must have degree at least 4.