高斯函数

hjfmhh

D选项怎么证，求解

kuing

\[\left[\frac{2^k}3\right]=\led
&\frac{2^k-2}3,&&k~\text{为奇数，}\\
&\frac{2^k-1}3,&&k~\text{为偶数}
\endled
\riff
\left[\frac{2^{2k-1}}3\right]+\left[\frac{2^{2k}}3\right]=\frac{2^{2k-1}-2}3+\frac{2^{2k}-1}3=2^{2k-1}-1,\]
得到
\begin{align*}
\left[\frac{2^{6k-5}}3\right]+\left[\frac{2^{6k-4}}3\right]+\cdots+\left[\frac{2^{6k}}3\right]&=2^{6k-5}+2^{6k-3}+2^{6k-1}-3\\
&=21\cdot2^{6k-5}-3,
\end{align*}
即连续六项之和被 `3` 整除，即得证。

hjfmhh

kuing 发表于 2024-4-9 18:55
\[\left[\frac{2^k}3\right]=\led
&\frac{2^k-2}3,&&k~\text{为奇数，}\\
&\frac{2^k-1}3,&&k~\text{为偶数 ...

\[\left[\frac{2^k}3\right]=\led
&\frac{2^k-2}3,&&k~\text{为奇数，}\\
&\frac{2^k-1}3,&&k~\text{为偶数 }请教一下这个怎么出来的？谢谢

睡神

hjfmhh 发表于 2024-4-9 14:29
\[\left[\frac{2^k}3\right]=\led
&\frac{2^k-2}3,&&k~\text{为奇数，}\\
&\frac{2^k-1}3,&&k~\text{为偶 ...

嘿嘿，这个我知道，2≡-1(mod 3)，懒得打代码了

hjfmhh

hjfmhh 发表于 2024-4-10 10:29
\[\left[\frac{2^k}3\right]=\led
&\frac{2^k-2}3,&&k~\text{为奇数，}\\
&\frac{2^k-1}3,&&k~\text{为偶 ...

睡神

hjfmhh 发表于 2024-4-9 14:51

晕。。。直接同余不就出来了？

由$2\equiv -1\pmod{3}$得$2^{2i}\equiv 1\pmod{3},2^{2i-1}\equiv -1\equiv 2\pmod{3}$

$\therefore \lfloor \dfrac{2^{2i}}{3}\rfloor=\dfrac{2^{2i}-1}{3},\lfloor \dfrac{2^{2i-1}}{3}\rfloor=\dfrac{2^{2i-1}-2}{3}$

hjfmhh

睡神 发表于 2024-4-10 10:58
晕。。。直接同余不就出来了？

由$2\equiv -1\pmod{3}$得$2^{2i}\equiv 1\pmod{3},2^{2i-1}\equiv -1\eq ...

谢谢