Pedoe不等式和Oppenheim不等式等价

hbghlyj

在Geometric Inequalities - Bottema, et. al. (1968)中，对于10.8（Pedoe不等式）和10.12.3（Oppenheim不等式）分别给出了证明。

它们都是关于两个三角形的不等式，取等条件都是当两个三角形相似。
用Heron公式展开发现，其实它们是等价的：
$$S(a,b,c):=\sqrt{\frac{1}{16} (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) }$$
那么10.12.3（Oppenheim不等式）$F_3 \geqslant F_1+F_2$可以写成
$$S\left(\sqrt{a_1^2+a_2^2},\sqrt{b_1^2+b_2^2},\sqrt{c_1^2+c_2^2}\right)\ge S(a_1,b_1,c_1)+S(a_2,b_2,c_2)$$
两边平方，代入S，乘以8，正好得到10.8（Pedoe不等式）
$8S\left(\sqrt{a^2+d^2},\sqrt{b^2+e^2},\sqrt{c^2+f^2}\right)^2-8(S(a,b,c)+S(d,e,f))^2$
$=d^2 \left(-a^2+b^2+c^2\right)+e^2 \left(a^2-b^2+c^2\right)+f^2 \left(a^2+b^2-c^2\right)-16 S(a,b,c) S(d,e,f)$

kuing

即将刷版，请休息。