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kuing
Post time 2024-4-11 19:08
用常规方法既简单又不容易犯标答的逻辑错误。
不妨设 `x_1>x_2`，易知 `f(x)` 在 `(1,2)` 上递增，所以 `f(x_1)>f(x_2)`，所以不等式等价于
\[f(x_1)-f(x_2)>\abs{g(x_1)-g(x_2)},\]
因此需要以下两式都恒成立：
\begin{align*}
f(x_1)-f(x_2)&>g(x_1)-g(x_2),\\
f(x_1)-f(x_2)&>g(x_2)-g(x_1),
\end{align*}
移项即
\begin{align*}
f(x_1)-g(x_1)&>f(x_2)-g(x_2),\\
f(x_1)+g(x_1)&>f(x_2)+g(x_2),
\end{align*}
于是令 `h(x)=f(x)-g(x)`, `k(x)=f(x)+g(x)`，即等价于 `h(x)`, `k(x)` 在 `(1,2)` 上都为严格递增函数，即等价于对任意 `x\in(1,2)` 恒有 `h'(x)\geqslant0` 且 `k'(x)\geqslant0` 且取等的点只可以是孤立点。
求导得
\begin{align*}
h'(x)&=1+\ln x-x+b,\\
k'(x)&=1+\ln x+x-b,
\end{align*}
当 `x\in(1,2)` 时
\begin{align*}
h''(x)=\frac1x-1<0&\riff h'(x)\in(\ln2-1+b,b),\\
k''(x)=\frac1x+1>0&\riff k'(x)\in(2-b,\ln2+3-b),
\end{align*}
所以等价于
\[\ln2-1+b\geqslant0\wedge2-b\geqslant0\iff b\in[1-\ln2,2].\]
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爪机专用
Post time 2024-4-11 15:24
