如何确定一个求和式的线性递推式？

青青子衿

已知\begin{align*}
q_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(n+k)!
\end{align*}
如何快速确定出$q_n$的线性齐次差分方程？

Ans:
\begin{align*}
(16n-15)q_{n+1}
&=(128n^{3}+40n^{2}-82n-45)q_{n}\\
&\qquad-n^{2}(256n^{3}-240n^{2}+64n-7)q_{n-1}\\
&\qquad\quad\>+n^{2}(n-1)^{2}(16n+1)q_{n-2}
\end{align*}

arxiv.org/pdf/1010.0429.pdf

hbghlyj

Sum[(n + k)! Binomial[n, k], {k, 0, n}]\[
\sum_{k=0}^n(k+n) !\binom nk=\sqrt{\frac{e}{\pi}} n ! K_{n+\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)
\]