一个三角函数的求和问题

lemondian

设$n\geqslant 3$为一个正整数，找出所有的正整数$k$，使得定义在$R$上到$R$的函数$f(x)=\cos^k(x)+\cos^k(x+\dfrac{2\pi}{n})+\cdots +\cos^k(x+\dfrac{2(n-1)\pi}{n})$为常函数。

爪机专用

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这个帖你忘了吗？

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-4-14 03:49
按这帖的９#，得有好几种情况，

这几种情况可以写成一个公式。

验证：

1. With[{n=6,k=8,τ=0},Sum[Cos[(τ+2π j)/n]^k,{j,0,n-1}]]

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$\frac{129}{64}$

1. With[{n=6,k=8,τ=0},n/2^k Sum[Cos[j τ]Binomial[k,(k+j n)/2]Boole[Divisible[k+j n,2]],{j,Ceiling[-k/n],k/n}]]

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$\frac{129}{64}$

1. With[{n=6,k=8,τ=π/4},Sum[Cos[(τ+2π j)/n]^k,{j,0,n-1}]]// RootReduce // ToRadicals

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$\frac{3}{128} \left(8 \sqrt{2}+70\right)$

1. With[{n=6,k=8,τ=π/4},n/2^k Sum[Cos[j τ]Binomial[k,(k+j n)/2]Boole[Divisible[k+j n,2]],{j,Ceiling[-k/n],k/n}]]

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$\frac{3}{128} \left(8 \sqrt{2}+70\right)$

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-4-14 03:49
按这帖的９#，得有好几种情况，蛮难的。
那么本题的结果是什么呢？

\[\sum _{j=0}^{n-1} \cos ^k\left(\frac{2 \pi  j+\tau }{n}\right)=\sum_{\substack{1\le j\le\frac kn\\2\mid k+jn}}n e^{-i j \tau } 2^{-k} \binom{k}{\frac{k+jn}2}+\sum_{\substack{0\le j\le\frac kn\\2\mid k+jn}}n e^{i j \tau } 2^{-k} \binom{k}{\frac{k+jn}2}\]

hbghlyj

可以把第一个$j$换成$-j$，注意到$\binom{k}{\frac{k-jn}2}=\binom{k}{\frac{k+jn}2}$，所以保持$\binom{k}{\frac{k+jn}2}$不变：
\[\sum _{j=0}^{n-1} \cos ^k\left(\frac{2 \pi  j+\tau }{n}\right)=\sum_{\substack{j<0\\1\le|j|\le\frac kn\\2\big| k+jn}}n e^{i j \tau } 2^{-k} \binom{k}{\frac{k+jn}2}+\sum_{\substack{0\le j\le\frac kn\\2\big| k+jn}}n e^{i j \tau } 2^{-k} \binom{k}{\frac{k+jn}2}\]
然后这两个$\sum$就能合并了：
\[\large
\sum _{j=0}^{n-1} \cos ^k\left(\frac{2 \pi  j+\tau }{n}\right)=\sum_{\substack{-\frac kn\le j\le\frac kn\\2\big| k+jn}}n e^{i j \tau } 2^{-k} \binom{k}{\frac{k+jn}2}\]
取共轭和原式相加并除以2，左边不变，右边每项的$e^{i j \tau }$变成$\cos(j\tau)$.
\[\large
\sum _{j=0}^{n-1} \cos ^k\left(\frac{2 \pi  j+\tau }{n}\right)=\frac{n}{2^k}\sum_{\substack{-\frac kn\le j\le\frac kn\\2\big| k+jn}} \cos(j \tau )  \binom{k}{\frac{k+jn}2}\]

hbghlyj

每个$e^{-ij\tau}$的系数$n 2^{-k} \binom{k}{\frac{k+jn}2}>0$

lemondian 发表于 2024-4-14 03:49
那么本题的结果是什么呢？

那么本题的结果是，关于$\tau$是常函数，当且仅当不存在非零的$j$：
$$\{1\le j\le\tfrac kn:2\mid k+jn\}=\emptyset$$

hbghlyj

又想出了一种证法，
math.stackexchange.com/questions/4899208/