已知正整数$a,b,c$满足$c\mid ab,(a-c)(b-c)<0$,求$\frac{(a-b)^2}{c}$的最小值

Tesla35

已知正整数$a,b,c$满足$c\mid ab,(a-c)(b-c)<0$,求$\frac{(a-b)^2}{c}$的最小值.

睡神

由对称性，不妨设$b<c<a$

设$(b,c)=d$，不妨令$b=xd,c=yd,y\ge x+1$

由$a>c$且$c\mid ab$得：$a\ge (d+1)y$

则$\dfrac{(a-b)^2}{c}\ge \dfrac{((d+1)y-xd)^2}{yd}=\dfrac{((y-x)d+y)^2}{yd}\ge \dfrac{(d+y)^2}{yd}=\dfrac{d}{y}+\dfrac{y}{d}+2\ge 4$

当且仅当$y=d,y-x=1,a=(d+1)y$时取“$=$”

Tesla35

睡神 发表于 2024-4-22 02:36
由对称性，不妨设$b<c<a$

设$(b,c)=d$，不妨令$b=xd,c=yd,y\ge x+1$

谢谢