$\Bbb R[\omega]$ 模$(1-\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类？基本区域包含$0,1,2$

hbghlyj

$3$ 在 $\Bbb Z$ 中不可约，
写出 $\Bbb Z$ 模$3\Bbb Z$的同余类？$\{\bar0,\bar1,\bar2\}\cong F_3$
当然，写法是不惟一的，例如也可以是$\{\bar1,\bar2,\bar3\}$
写出 $\Bbb R$ 模$3\Bbb Z$的同余类？$\{\bar r:r\in[0,3)\}$，基本区域是$[0,3)$.
当然，写法是不惟一的，例如也可以是$\{\bar r:r\in(0,3]\}$

---

$\omega=\exp(i\frac{2\pi}3)$
$5$ 在 $\Bbb Z[\omega]$ 中不可约，
写出 $\Bbb Z[\omega]$ 模$5\Bbb Z[\omega]$的同余类？$\{\overline{a+b\omega}:a,b\in\{0,1,2,3,4\}\}\cong F_{25}$
写出 $\Bbb R$ 模$5\Bbb Z[\omega]$的同余类？$\{\overline{a+b\omega}:a,b\in[0,5)\}$，基本区域是矩形$[0,5)+\omega[0,5)$.

$|1-\omega|^2=3$
$1-\omega$ 在 $\Bbb Z[\omega]$ 中不可约，
写出 $\Bbb Z[\omega]$ 模$(1-\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类？$\{\bar 0,\bar1,\bar2\}\cong F_3$
$1\equiv\omega\equiv\omega^2\pmod{1-\omega}$
$2\equiv-1\equiv-\omega\equiv-\omega^2\pmod{1-\omega}$

问题：
[*]如何写出 $\Bbb R[\omega]=\Bbb C$ 模$(1-\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类，基本区域包含3个$\Bbb Z[\omega]$的点$0,1,2$？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-21 20:19
如何写出 $\Bbb R[\omega]=\Bbb C$ 模$(1-\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类，基本区域包含3个$\Bbb Z[\omega]$的点$0,1,2$？

$\Bbb Z[\omega]=\Bbb Z+\omega\Bbb Z$是这样的格点：

写出$\Bbb R[\omega]$模$\Bbb Z[\omega]$的同余类？$\{\overline{a+\omega b}:a,b\in[0,1)\}$，基本区域是一个边长1的菱形。

$(1-\omega)\Bbb Z[\omega]$是$\Bbb Z[\omega]$缩放旋转得到的格点，那些同余类变为$(1-\omega)(a+\omega b)=(1-\omega)+(1+2\omega)b$

$\Bbb R[\omega]$模$\Bbb Z[\omega]$的同余类：$\{\overline{(1-\omega)a+(1+2\omega)b}:a,b\in[0,1)\}$，基本区域是一个边长$\sqrt3$的菱形，它包含的$\Bbb Z[\omega]$的点是$0,1,-\omega^2$不满足要求

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-21 20:19
如何写出 $\Bbb R[\omega]=\Bbb C$ 模$(1-\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类，基本区域包含3个$\Bbb Z[\omega]$的点$0,1,2$？

把$a$换成$a+2b$，得到$\{\overline{(1-\omega)a+3b}:a,b\in[0,1)\}$是$\Bbb R[\omega]$模$\Bbb Z[\omega]$的同余类，且包含$0,1,2$

问题解决了

---

另一种方法：（相关：forum.php?mod=viewthread&tid=10286）
可以把上面的菱形分出两个三角形

分别平移$(1-\omega)$和$(\omega^2-\omega)$保持同余，区域变为一个六边形：

这个六边形包含3个$\Bbb Z[\omega]$的点$0,1,2$（因为$-\omega$被平移到了2，而$-\omega$是原来的内点）

hbghlyj

$7 = (2-ω)(2-ω^2).$
$2-\omega$ 在 $\Bbb Z[\omega]$ 中不可约，
写出 $\Bbb Z[\omega]$ 模$(2-\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类？$\{\bar 0,\bar1,\dots,\bar6\}\cong F_7$

问题：

• 如何写出 $\Bbb R[\omega]=\Bbb C$ 模$(2-\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类，基本区域包含7个$\Bbb Z[\omega]$的点$0,1,\dots,6$

像上面一样，先写出$\{\overline{(2-\omega)a+(1+3\omega)b}:a,b\in[0,1)\}$，基本区域为一个边长$\sqrt7$的菱形

把$a$换成$a+3b$得$\{\overline{(2-\omega)a+7b}:a,b\in[0,1)\}$，基本区域包含$0,1,\dots,6$，问题解决了

一般情况：
素数$p\equiv1\pmod3$，则存在$n,m\inZ,n>0$使$p=(n+m\omega)(n+m\omega^2)$,
$\omega(n+m\omega)=-m+(n-m)\omega$
像上面一样，先写出$\{(n+m\omega)a+(-m+(n-m)\omega)b:a,b\in[0,1)\}$是$\Bbb C$ 模$(n+m\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类，
$(n-m)(n+m\omega)-m(-m+(n-m)\omega)=n^2-mn+m^2=p\implies p\in(n+m\omega)\Bbb Z+(-m+(n-m)\omega)\Bbb Z$.
$\gcd(n,m)=1\implies\gcd(n-m,m)=1\implies\exists r,s\inZ:(n-m)r+ms=1$
$\implies(n+m\omega)\Bbb Z+(-m+(n-m)\omega)\Bbb Z=(r(n+m\omega)+s(-m+(n-m)\omega))\Bbb Z+p\Bbb Z$
$\{\overline{(r(n+m\omega)+s(-m+(n-m)\omega))a+pb}:a,b\in[0,1)\}$是$\Bbb C$ 模$(n+m\omega)\Bbb Z[\omega]$的同余类，基本区域包含$0,1,\dots,p-1$

---

把$\omega$换成$i$也一样：
素数$p\equiv1\pmod4$，则存在$n,m\inZ,n>0$使$p=(n+mi)(n+mi)$,
$i(n+mi)=-m+ni$
像上面一样，先写出$\{(n+mi)a+(-m+ni)b:a,b\in[0,1)\}$是$\Bbb C$ 模$(n+mi)\Bbb Z[i ]$的同余类，
$n(n+mi)-m(-m+ni)=n^2+m^2=p\implies p\in(n+mi)\Bbb Z+(-m+ni)\Bbb Z$.
$\gcd(n,m)=1\implies\exists r,s\inZ:(n-m)r+ms=1$
$\implies(n+mi)\Bbb Z+(-m+ni)\Bbb Z=(r(n+mi)+s(-m+ni))\Bbb Z+p\Bbb Z$
$\{\overline{(r(n+mi)+s(-m+ni))a+pb}:a,b\in[0,1)\}$是$\Bbb C$ 模$(n+mi)\Bbb Z[i ]$的同余类，基本区域包含$0,1,\dots,p-1$