来自讨论组：环形公路长=油站总油量，汽车必能环行一周

kuing

  生如夏花 2024/4/18 9:34:48
沿着一条环形公路分布着一些加油站，现知各站的储油总量刚好够一辆汽车环行一周，但每一站的储油量未必够它到达下一站。如果汽车每到一站便将该站的储油全都捎上，证明：汽车一定可以从某个储油站出发，利用这些油环行一周后回到出发点。

看上去很有意思的题
生如夏花 2024/4/18 9:47:56
是否等价于，若干实数和为0，依次排在圆周上，求证一定可以从某数开始相加，过程中非负

kuing 2024/4/18 11:46:20
随便选择一个行驶方向，考查每一个站的油量是否够到达下一站。
对于足够有余的，不管它，而对于不够的或者恰好相等的，就把这个站以及该站油量能行驶的一段路一起拆了，然后在被拆的两端直接连接起来（比如用任意门），构成一个新的环，这个新环同样满足总油量恰好够环行一周。
经过有限轮这样的拆除操作后，最终的环里就只剩一个站，那么还原回最初，就从这个站出发即可。

前几天的事了，当时我懒得画图，就回复了上面这段描述，可能表达得不好，提问者说理解不了。
好吧，现在就随便举个栗子，画个图，顺便检验方法是否可行。
比如有六个加油站，分别用 `A_1`~`A_6` 表示，不妨规定逆时针方向行驶，如下图：

圈内数字表示该站内的油量，线外的数字表示两站之间的路程需要多少油。
`A_1` 与 `A_2` 之间：`A_1` 油量 8 > 路程所需油量 6，就不用管 `A_1`，看下一个。
`A_2` 与 `A_3` 之间：`A_2` 油量 4 < 路程所需油量 9，则拆掉 `A_2` 及其后油量 4 对应的一段路，被拆的两端用任意门连接，此时 `A_1` 到 `A_3` 的路程为 `A_1` 到 `A_2` 以及 `A_2` 与 `A_3` 间拆剩的部分，即 `6+5`，所以变成：

`A_3` 与 `A_4` 之间：`A_3` 油量 9 > 路程所需油量 5，看下一个。
`A_4` 与 `A_5` 之间：`A_4` 油量 1 < 路程所需油量 3，拆 `A_4` 及其后的 1 油量的路，任意门连接，变成：

`A_5` 与 `A_6` 之间：`A_5` 油量 1 = 路程所需油量 1，拆 `A_5` 及其到 `A_6` 的路，任意门连接，变成：

`A_6` 与 `A_1` 之间：`A_6` 油量 6 > 路程所需油量 5，看下一个。
`A_1` 与 `A_3` 之间：`A_1` 油量 8 < 路程所需油量 11，拆 `A_1` 及其后的 8 油量的路，任意门连接，变成：

最后是拆 `A_6`，就不画了，反正最后是剩下 `A_3`。
于是回到最初时，就是选择从 `A_3` 出发即可，油量变化为 `9-5+1-3+1-1+6-5+8-6+4-9`，一直非负，最后为零，没问题。

而如果最初选择顺时针方向行驶，同样的方法操作后，结果为从 `A_1` 出发即可。

ic_Mivoya

等价命题："若干实数和为0，依次排在圆周上，求证一定可以从某数开始相加，过程中非负。"
在此摘抄一下经典证法。（破环成链、部分和 & 差分，都是常见套路了）

设这些实数依次为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$。
将其复制一遍，得到数列 $b=[a_1,a_2,\cdots,a_n,a_1,a_2,\cdots,a_n]$。

在 $b$ 中选取长为 $n$ 的子段，即可得到 $a$ 的任意圆排列。
我们只需保证某个子段的"前缀和"均非负。

设 $b$ 的部分和为 $\displaystyle S_k=\sum_{i=1}^kb_i$。
由于 $\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=0$，显然 $S_{n+k}=S_k$ 恒成立。
从而可取 $S_j(1\le j\le n)$，使其是 $S$ 的一个最小值。

选取子段 $b_{j+1},b_{j+2},\cdots,b_{j+n}$，考察其"前缀和"：
$$\begin{aligned}
b_{j+1}&=S_{j+1}-S_j\ge0\\
b_{j+1}+b_{j+2}&=S_{j+2}-S_j\ge0\\
&\vdots\\
b_{j+1}+b_{j+2}+\cdots+b_{j+n}&=S_{j+n}-S_j=0
\end{aligned}$$
可知其符合条件。命题得证。