这道概率题这样做是否对？有没有其他解法

hjfmhh

小蒋同学喜欢吃饺子．某日他前往食堂购买 16 个饺子，其中有 $X$ 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且 $P(X=i)=\frac{1}{17}, i=0,1, \cdots, 16$. 在小蒋吃到的前 13 个饺子均为玉米肉馅的条件下，这 16 个饺子全部为玉米肉馅的概率为
A．$\frac{4}{5}$
B．$\frac{13}{16}$
C．$\frac{14}{17}$
D．$\frac{5}{6}$

kuing

`A`：前 13 个均为玉米
`C`：全是玉米
\begin{align*}
P(A)&=\sum_{i=13}^{16}P(X=i)\frac{C_i^{13}}{C_{16}^{13}}\\
&=\frac{C_{13}^{13}+C_{14}^{13}+C_{15}^{13}+C_{16}^{13}}{17C_{16}^{13}}\\
&=\frac{C_{17}^{14}}{17C_{16}^{13}}=\frac1{14},
\end{align*}
\[P(C\mid A)=\frac{P(CA)}{P(A)}=\frac{P(C)}{P(A)}=\frac{P(X=16)}{P(A)}=\frac{\frac1{17}}{\frac1{14}}=\frac{14}{17}.\]

总感觉有不需要计算的直接解释……

睡神

“前 13个均为玉米肉饺子”已成必然事件，可以撇开不管，只需考虑“后三个饺子”即可。

不妨考虑“后3个全是玉米肉饺子”的对立事件“后3个至少存在一个香菇肉饺子”

而“后3个至少存在一个香菇肉饺子”为"有$i,14\le i\le 16$个香菇肉饺子"的并事件，并且"有$i$个香菇肉饺子"与"有$j,i\ne j$个香菇肉饺子"互斥，此时概率为$\dfrac{3}{17}$

所以“后3个全是玉米肉饺子”为$1-\dfrac{3}{17}=\dfrac{14}{17}$

应该没问题了