高斯函数D选项有没有怎么出来？除几何画板画图法

hjfmhh

睡神

依题意可知，圆心坐标为$(t,-t)$，半径$r=\sqrt2t$

当$x\in [i,i+1),i\inN$时，$f(x)=[x]=i$

若$f(x),x\in [i,i+1)$与圆有公共点，则点$(i,i)$不在圆内，且点$(i+1,i)$在圆内

即$\begin{cases} (i-t)^2+(i+t)^2\ge 2t^2 \\ (i+1-t)^2+(i+t)^2< 2t^2 \end{cases}$

解得：$t>i^2+i+\dfrac{1}{2}$

此时，$f(x),0\le x<i+1,i\inN$与圆有$i+1$个公共点

hjfmhh

睡神 发表于 2024-4-26 15:21
依题意可知，圆心坐标为$(t,-t)$，半径$r=\sqrt2t$

当$x\in [i,i+1),i\inN$时，$f(x)=[x]=i$

还是没说清楚3个为什么不可以，4个是可以的

睡神

hjfmhh 发表于 2024-4-26 20:03
还是没说清楚3个为什么不可以，4个是可以的

谁说不能是3个？当$i=2$时，$\dfrac{13}{2}<t\le \dfrac{25}{2}$，$f(x)$与圆就有且只有3个公共点，比如取$t=10$计算就知道了~

我的错，考虑不周，上面是第一象限的情况

kuing

睡神 发表于 2024-4-26 21:05
谁说不能是3个？当$i=2$时，$\dfrac{13}{2}<t\le \dfrac{25}{2}$，$f(x)$与圆就有且只有3个公共点，比如 ...

你没考虑第三象限的交点吧？

睡神

kuing 发表于 2024-4-26 21:19
你没考虑第三象限的交点吧？

噢，对，默认$x\ge 0$了，我的错！依样画葫芦，再加上$x<0$的讨论即可

睡神

当$x\in [-k,-k+1),k\inN^*$时，$f(x)=[x]=-k$

若$f(x),x\in [-k,-k+1)$与圆有公共点，则点$(-k,-k)$不在圆内，且点$(-k+1,-k)$在圆内

即$\begin{cases} (-k-t)^2+(-k+t)^2\ge 2t^2 \\ (-k+1-t)^2+(-k+t)^2< 2t^2 \end{cases}$

解得：$t>k^2-k+\dfrac{1}{2}$

显然，$k=i+1$

此时，$f(x),-k\le x<0,k\inN^*$与圆有$k$个公共点

共有$i+1+k=2i+2$个公共点

kuing

然而，一端在圆内一端不在圆内，并不是线段与圆有公共点的充要条件……
还需要补充细节。

kuing

我意思是你得说明不存在这种情况：

睡神

kuing 发表于 2024-4-26 23:23
我意思是你得说明不存在这种情况：

噢，是的哦，我理想当然地认为长度为1的线段不足以跨越大圆了😌😌😌

睡神

kuing 发表于 2024-4-26 23:23
我意思是你得说明不存在这种情况：

既然正攻有强敌，那不妨搞个背后袭击~已知区间$[i,i+1)$的左端点必在圆外，若线段与圆无公共点，则右端点也不在圆内，否则必有公共点，算出反面$t$的范围，再取其补集。答案应该不变…k神看看还有啥问题不

hjfmhh

睡神 发表于 2024-4-27 00:27
既然正攻有强敌，那不妨搞个背后袭击~已知区间$[i,i+1)$的左端点必在圆外，若线段与圆无公共点，则右端点 ...

这是一道模拟多选题，应该有其他快捷方法吧

睡神

hjfmhh 发表于 2024-4-27 20:48
这是一道模拟多选题，应该有其他快捷方法吧

另法：

易知，区间$[i,i+1),i\inZ$的左端点恒在直线$y=x$上，显然左端点都不在圆内；而右端点恒在直线$y=x-1$上

联立：\begin{cases} y=x-1  \\ (x-t)^2+(y+t)^2=2t^2  \end{cases}
得：$x^2-x-t+\dfrac{1}{2}=0$          (1)

判别式：$\Delta=4t-1$

1、当$0<t\le \dfrac{1}{4}$时，方程(1)至多有一个实根$x=\dfrac{1}{2}$

即直线$y=x-1$与圆$(x-t)^2+(y+t)^2=2t^2$至多有一个公共点$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

此时，$f(x)$与圆只有一个公共点$(0,0)$

2、当$t> \dfrac{1}{4}$时，方程(1)有两不等实根$x_1=\dfrac{1+\sqrt{4t-1}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{4t-1}}{2}$

$f(x)$与圆的公共点个数$\iff$区间$(x_2,x_1)$的整数个数

而圆关于直线$y=-x$对称，所以区间$(x_2,x_1)$的整数个数必定是偶数（这里有点问题，$\dfrac{1}{4}<t\le \dfrac{1}{2}$，区间$(x_2,x_1)$没有整数，懒得改了）

没细想，不知道这样严不严谨...

水平有限公司出产，想不到更好的方法了

睡神

hjfmhh 发表于 2024-4-27 20:48
这是一道模拟多选题，应该有其他快捷方法吧

看到你这句话，让我想起了前不久弄的那个数列题，$a_{n+1}=1+\dfrac{n}{a_n}$这个，严谨起来的话，选择题就一定有快捷方法啦？