正16边形三线共点

hbghlyj

如圖，正16邊形，$AD,BE,CF$三線共點（$=\triangle DEF$的內心 $=\triangle ABC$的垂心）

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kuing

如上图，由角元塞瓦定理，要证三线共点，只需证明
\[\frac{\sin\angle DAB}{\sin\angle EBA}\cdot\frac{\sin\angle EBC}{\sin\angle FCB}\cdot\frac{\sin\angle FCA}{\sin\angle DAC}=1,\]
而显然有
\begin{align*}
\angle DAB&=\angle FCB,\\
\angle EBC&=\angle DAC,\\
\angle FCA&=\angle EBA,
\end{align*}
即得证。