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kuing
Post time 2024-5-5 01:21
任何定义，只要没有矛盾，都是允许的，你可以自由选择使用什么定义去创立理论解决问题。
只不过在实际应用当中，哪种定义会更方便，更符合人的直观，自然就会跑出来。
闲着无聊，来实际操作试一下。
$\newcommand\xian{\,\mathrm{xian}}
\newcommand\rad{\,\mathrm{rad}}$
定义“弦度”单位符号 `\xian`：
设单位圆上有长度为 `x` 的弦，这条弦所对的圆心角记为 `x\xian`。
那么有 `1\xian=60\du=\frac\pi3`，`2\xian=180\du=\pi`，所以 `2\xian=3\times1\xian`。
（在定义时就知道这不是线性的，即一般有 `k\xian\ne k\times1\xian`，`a\xian+b\xian\ne(a+b)\xian`）
与弧度制的转换公式：
为了清晰起见，不省略弧度制的单位 `\rad`。
设 `x\xian=\alpha\rad`，由定义有 `\alpha\in[0,\pi]` 以及 `x=2\sin(\alpha/2)`，则 `\alpha=2\arcsin(x/2)`，因此
\[x\xian=2\arcsin\frac x2\rad.\]
根据上述公式，有
\[\sin(x\xian)=2\frac x2\cos\arcsin\frac x2=x\sqrt{1-\frac{x^2}4},\]
以及
\[\cos(x\xian)=1-2\left(\frac x2\right)^2=1-\frac{x^2}2.\]
根据上述公式，可将余弦定理用弦度制来表达：
设 `\triangle ABC` 的三边为 `a`, `b`, `c`，设三个内角为 `\angle A=x\xian`, `\angle B=y\xian`, `\angle C=z\xian`，则有
\[a^2=(b-c)^2+bcx^2,\]
等三式。
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realnumber
Post time 2024-5-5 07:16
