四面体的费马点

lihpb

若四面体的费马点F和外心O重合，则F、O与重心G三点重合
若四面体的重心G和外心O重合，则费马点F与O、G三点重合

若四面体存在费马点，F、O、G是否三点共线

hejoseph

对于不是由普遍定义的点应该说明一下定义，例如四面体的费马点并没有普遍定义。这里就认为是到顶点距离和最小的点为四面体的费马点。
对于三角形，一般情况下重心、外心、费马点并不共线的，只有特殊情况下会共线，因此可以预测四面体的情况也会类似。
这里设 $AB=7$，$AC=8$，$AD=9$，$BC=4$，$BD=5$，$CD=6$，点 $G$ 的重心坐标为
\[
(0.25,0.25,0.25, 0.25)
\]
点 $O$ 的重心坐标为
\[
(0.5341211303,-0.4686693480,0.3997458438,0.5348023739)
\]
点 $F$ 的重心坐标为
\[
(0.1536615890,0.3579954716,0.2713452725,0.2169976669)
\]
一般四面体的费马点需要解一个高次方程组，并没有简单结果，所以后面两组数值保留 $10$ 位有效数字，但不影响后面的计算。
如果共线，那么必定存在 $x$ 使
\begin{align*}
&x(0.5341211303,-0.4686693480,0.3997458438,0.5348023739)+(1-x)(0.25,0.25,0.25, 0.25)\\
={}&(0.1536615890,0.3579954716,0.2713452725,0.2169976669)
\end{align*}
但这样的 $x$ 并不存在，因此也不共线。

kuing

bbs.emath.ac.cn/thread-5795-1-1.html
这里有一堆讨论，我没心思慢慢看，只是提供个链接。