5次方程的根按照奇怪的顺序求和

hbghlyj

$x^5-5x^2-3$可以在某个域上分解：

1. Factor[x^5-5x^2-3,Extension->(125/4 (25+5 Sqrt[5]+Sqrt[750+330 Sqrt[5]]))^(1/5)]

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$e^{k\frac{2\pi i}5}$与$x^5-5x^2-3$的根按照奇怪的顺序乘积求和的5次方，的极小多项式是4次的：
\begin{array}c
k&x^5-5x^2-3\\
1&3\\
2&1\\
3&5\\
4&4\\
5&2
\end{array}

1. (Exp[3 I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],1]+Exp[I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],2]+Exp[5I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],3]+Exp[4I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],4]+Exp[2I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],5])^5//MinimalPolynomial

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-30517578125-244140625 #1+1953125 #1^2-3125 #1^3+#1^4&

如果交换$x^5-5x^2-3$的第2,3和4,5个根，乘积求和的5次方，的极小多项式也是4次的：\begin{array}c
k&x^5-5x^2-3\\
1&3\\
2&5\\
3&1\\
4&2\\
5&4
\end{array}

1. (Exp[3 I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],1]+Exp[I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],2]+Exp[5I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],3]+Exp[4I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],4]+Exp[2I 2Pi/5]Root[Function[x,x^5-5x^2-3],5])^5//MinimalPolynomial

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-30517578125-244140625 #1+1953125 #1^2-3125 #1^3+#1^4&

按其它顺序就是更高次的了。只有上面的顺序得到4次最低。

1. ResourceFunction["StauduharGaloisGroup"][x^5 - 5 x^2 - 3, x]

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用StauduharGaloisGroup算出Galois group是$D_5$
？？？
为什么呢？？

hbghlyj

那个四次多项式的根是

1. Solve[-30517578125-244140625 x+1953125 x^2-3125 x^3+x^4==0,x,Quartics->True]

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\begin{array}{l}
\frac{125}{4} \left(25-5 \sqrt{5}-\sqrt{750-330 \sqrt{5}}\right) \\
\frac{125}{4} \left(25-5 \sqrt{5}+\sqrt{750-330 \sqrt{5}}\right) \\
\frac{125}{4} \left(25+5 \sqrt{5}-\sqrt{750+330 \sqrt{5}}\right) \\
\frac{125}{4} \left(25+5 \sqrt{5}+\sqrt{750+330 \sqrt{5}}\right) \\
\end{array}

1. ResourceFunction["StauduharGaloisGroup"][-30517578125-244140625 x+1953125 x^2-3125 x^3+x^4, x]

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用StauduharGaloisGroup算出Galois group是$S_4$

hbghlyj

$\sqrt{\Delta}\inQ$，这与$D_5\subseteq A_5$相符。

通过上面，把四次方程的根的5次根式加进去：

1. Factor[x^5-5x^2-3,Extension->{Exp[I 2Pi/5],(125/4 (25+5 Sqrt[5]+Sqrt[750+330 Sqrt[5]]))^(1/5)}]

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分解成了一次因式。

这说明$x^5-5x^2-3$的根都在$\Bbb Q\left[\exp \left(\frac{i 2 \pi }{5}\right),\sqrt[5]{25+\frac{125}{4} \left(5 \sqrt{5}+\sqrt{750+330 \sqrt{5}}\right)}\right]$中。
这个域很大。
能不能找到$x^5-5x^2-3$的分裂域？

hbghlyj

发到MSE问问：math.stackexchange.com/questions/4916701/subg … is-group-of-x5-5x2-3

1. MinimalPolynomial[Total[r1^2r2/.Table[Thread[{r1,r2,r3,r4,r5}->RotateRight[Table[Root[#^5-5#^2-3&,i],{i,{1,2,4,5,3}}],n]],{n,5}]],x]

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$x^2+5 x+100$