疑似错误的一道三模数学题

走走看看

椭圆 $C: \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$，点 $P$ 在椭圆上第一象限内，记 $\angle P A B=\alpha, \angle P B A=\beta$ ，存在圆 $N$ 经过点 $P, A, B$ ，且 $\overrightarrow{N A} \cdot \overrightarrow{N B}=0, \tan \alpha+\tan \beta=8$，则椭圆 C 的离心率为 $\boxed{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$

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$\overrightarrow{N A} \cdot \overrightarrow{N B}=0$ ，所以 $\angle A N B=90^{\circ}, \angle A P B=\frac{1}{2} \angle A N B=45^{\circ}$，所以 $\tan \angle A P B=-\tan (\alpha+\beta)=-\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta}=-\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1+k_{P B} \cdot k_{P A}}=1$，得 $k_{P B} \cdot k_{P A}=-9$，设 $P(x, y)$，由 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 得，$y^2=a^2\left(1-\frac{x^2}{b^2}\right)$，则 $k_{P A} \cdot k_{P B}=\frac{y}{x+b} \cdot \frac{y}{x-b}=\frac{y^2}{x^2-b^2}=-\frac{a^2}{b^2}=-9 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{9} \Rightarrow e=\sqrt{1-\left(\frac{1}{9}\right)^2}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

这道题是错误的吧？
由于N只可能在y负半轴，所以∠ANB=90°，∠AN'B=45°，∠APB是135°而不是45°。
通过运算得到tanα×tanβ=-7，而这是不可能的。

kuing

确实是错题。
∠APB=135°，那 `\alpha`, `\beta` 都不可能超过 45°，正切之和怎么可能是 8？

走走看看

kuing 发表于 2024-5-19 00:22
确实是错题。
∠APB=135°，那 `\alpha`, `\beta` 都不可能超过 45°，正切之和怎么可能是 8？ ...

不好意思，大意了，题目提到左右顶点，我以为长轴在x轴，实际上这里长轴在y轴上。

kuing

走走看看 发表于 2024-5-25 16:01
不好意思，大意了，题目提到左右顶点，我以为长轴在x轴，实际上这里长轴在y轴上。 ...

擦，你不说我都没发现原来方程是 `\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1` 而不是 `\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1`……

真是的，要想表达长轴在 `y` 轴上，他为何不写 `\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1` 然后标注 `b>a>0`？
这样应该没那么容易看错……不过说到底还是只能怪自己😌

isee

kuing 发表于 2024-5-25 16:07
擦，你不说我都没发现原来方程是 `\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1` 而不是 `\dfrac{x^2}{a^2}+\dfr ...

长轴长永远是 2a ~

kuing

😑😑😑哼