2024年北京高中数学联赛的一个三元不等式

lemondian

2024年北京高中数学联赛：
设$a,b,c$是三个正数，求证：
$\dfrac{2a}{\sqrt{2a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{2b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}+\dfrac{2c}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}\leqslant \dfrac{3\sqrt{2}(a+b+c)}{\sqrt{5a^2+5b^2+5c^2+ab+bc+ca}}$

kuing

没想到这年头还有竞赛题会考三元不等式，早就不时兴了吧……

这题虽然看着吓人，其实弱得一P：由
\begin{align*}
ab+bc+ca&\leqslant a^2+b^2+c^2,\\
\sqrt{2a^2+b^2+c^2}&=\frac{\sqrt{(1+3)(a^2+a^2+b^2+c^2)}}2\\
&\geqslant\frac{a+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}2,
\end{align*}
可知只需证明更强式
\[\sum\frac{4a}{a+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}\leqslant\frac{\sqrt3(a+b+c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\]
由齐次性不妨设 `a^2+b^2+c^2=3`，上式化为
\[\sum\frac{4a}{a+3}\leqslant a+b+c,\]
然后用切线法，只需证明对 `0<x<\sqrt3` 恒有
\[\frac{4x}{x+3}\leqslant x+\frac{1-x^2}8,\]
上式作差有
\[\RHS-\LHS=\frac{(3-x)(x-1)^2}{8(x+3)}\geqslant0,\]
即得证。

lemondian

kuing 发表于 2024-5-22 17:04
没想到这年头还有竞赛题会考三元不等式，早就不时兴了吧……

这题虽然看着吓人，其实弱得一P：由

这个加强N！
我是用琴生直接做，怀疑命题人就是用凸函数这个东西搞的。
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现在的想法是：1.还有其它证法吗？
2.原题或kuing的加强式能不能搞点推广（如元，系数，指数什么的推广）？