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睡神
发表于 2024-5-22 22:32
由(1)得：$B=2A,C=\pi-3A \Longrightarrow \dfrac{\pi}{3}<2A<\dfrac{\pi}{2} \Longrightarrow 0<\cos 2A<\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{S}{a^2}=\dfrac{c\sin B}{2a}=\dfrac{\sin 3A\sin 2A}{2\sin A}=\dfrac{(3-4\sin^2A)\sin 2A}{2}$
$=\dfrac{(1+2\cos 2A)\sin 2A}{2}=\dfrac{\sqrt{(1+2\cos 2A)^2(1-\cos^2 2A)}}{2}$
令$x=\cos 2A$，则$0<x<\dfrac{1}{2}$
令$f(x)=(1+2x)^2(1-x^2)$
所以 $f'(x)=2(1+2x)\left[-(2x+\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{33}{16}\right]>0$
所以 $f(x)$在$(0,\dfrac{1}{2})$单调递增
所以 $1<f(x)<3$
所以 $\dfrac{1}{2}<\dfrac{S}{a^2}<\dfrac{\sqrt3}{2}$ |
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