證明平方和不大於4/3n

Zach

如圖，證明平方和不大於4/3n

realnumber

正数x,y,$x\le y$,x+y=k<1,则$x^2+y^2$总是随y-x增大而增大,
猜测,1楼在$a_1=a_2=...=a_{n-1}=\frac{1}{n+2},a_n=\frac{3}{n+2}$
那么$a_1^2+a_2^2+....+a_n^2\le \frac{n+8}{(n+2)^2}\le \frac{4}{3n}$

Czhang271828

去掉条件 $(a)$, 将条件 $(b)$ 化作 $a_1=1$, $a_i\in [1,3]$. 将待证式化作
$$
I=\frac{1+a_2^2+\cdots +a_n^2}{(1+a_2+\cdots +a_n)^2}\leq \frac{4}{3n}.
$$
以下偏导在 $a_i\in [1,3]$ 时先负后正
$$
\frac{\partial I}{\partial a_i}=\frac{2a_i(1+a_2+\cdots +a_n)-2(1+a_2^2+\cdots +a_n^2)}{(1+a_2+\cdots +a_n)^3}.
$$
$I$ 取最大值时, 一切 $a_i$ 必定取端点值 $\{1,3\}$. 不妨设 $k$ 个 $a_i$ 值取 $3$, 则
$$
I=\frac{9k+(n-k)}{(3k+(n-k))^2}=\frac{4}{(n+2k)}-\frac{3n}{(n+2k)^2}\leq \frac{4}{3n}.
$$
取等条件 $k=n/4$.

注: 思路是 Lagrange 那一套, 难点是如何非线性地形变该方程. 个人直觉是扔掉边值条件 $(a)$, 再对 $a_1\leq a_i\leq 3a_1$ 齐次化. 不知对原题直接偏导是否会很复杂?