k小于0,若存在$x_1\not=x_2$，使$kx_1+2=\ln x_2,kx_2+2=\ln x_1$，求k的取值范围

郝酒

RT，答案是用做差解的，感觉说得不清楚，但是答案$k<-\frac{1}{\mathrm{e}}$是对的（通过几何画板验证），想问下这道题该如何思考.
如果将$kx+2$，变成其他的$kx+1$，$kx+3$，$kx+m$，对结果有什么影响？
如果不限定$k<0$，

kuing

能不能贴一下答案先

郝酒

kuing

郝酒 发表于 2024-5-26 16:10

光看两点连线斜率，那不是能取遍所有正数吗？

郝酒

kuing 发表于 2024-5-26 16:17
光看两点连线斜率，那不是能取遍所有正数吗？

是的，所以感觉这个答案不对。但是
我考虑$k e^{kx+2} + 2 = x$，斜率比较平的时候，交点是一个，就不行了。

kuing

不妨设 `x_2>x_1`，令 `x_2=tx_1`, `t>1`，则条件化为
\begin{align*}
kx_1+2&=\ln x_1+\ln t,\\
kx_1+\frac2t&=\frac{\ln x_1}t,
\end{align*}
两式相减整理可得
\[\ln x_1=2-\frac{t\ln t}{t-1},\]
代回前面第一式整理可得
\[-kx_1=\frac{\ln t}{t-1},\]
取对数得
\[\ln(-k)+\ln x_1=\ln\frac{\ln t}{t-1},\]
再代入上面的得
\[\ln(-k)=\ln\frac{\ln t}{t-1}+\frac{t\ln t}{t-1}-2=h(t),\]
求导得
\[h'(t)=\frac1{t\ln t}-\frac{\ln t}{(t-1)^2}=\frac{\frac{(t-1)^2}t-\ln^2t}{(t-1)^2\ln t},\]
那么由
\[0<\ln t<\frac{t-1}{\sqrt t}\riff h'(t)>0,\]
而
\[\lim_{t\to1}h(t)=-1,\lim_{t\to+\infty}h(t)=+\infty,\]
所以
\[\ln(-k)=h(t)\in(-1,+\infty)\iff-k\in(e^{-1},+\infty)\iff k\in(-\infty,-e^{-1}).\]