独立事件的概率应用

走走看看

3．拋掷 一枚质地均匀的硬市 $n(n \geq 2)$ 次，记事件 $A=$"$n$ 次中至多有一次反面朝上"，事件 $B=$"$n$ 次中全部正面朝上或全部反面朝上"，若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $n$ 的值为（）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5

这里的AB事件是指什么事件？它的概率如何计算？

走走看看

我觉得n=2，但答案是n=3。

kuing

事件 AB 就是要满足“至多一次反”并且“全正或全反”，那显然就相当于“全正”呗，所以
\begin{align*}
P(A)&=\frac{n+1}{2^n},\\
P(B)&=\frac1{2^{n-1}},\\
P(AB)&=\frac1{2^n},
\end{align*}
因此
\[\frac1{2^n}=\frac{n+1}{2^n}\cdot\frac1{2^{n-1}}\iff2^{n-1}=n+1\riff n=3.\]