证明：$ ae+cg=bf+dh $

Zach

如图，两单位正方形重迭出八边形$ABCDEFGH$，

边长$HA,AB,BC,CD,DE,EF,FG,GH$ 依序为$a,b,c,d,e,f,g,h$

证明：$ ae+cg=bf+dh $

kuing

易证 `a+e=c+g=b+f=d+h`，则有
\[(a+e)^2+(c+g)^2=(b+f)^2+(d+h)^2,\]
于是要证明 `ae+cg=bf+dh`，就只需证明
\[a^2+e^2+c^2+g^2=b^2+f^2+d^2+h^2,\]
又显然八个小直角三角形均相似，则它们的斜边平方之比 = 面积之比，因此上式等价于两个正方形不重叠的部分面积之和相等，这是显然的，即得证。