垂心四面体欧拉球心的几何不等式

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垂心四面体 $A_0 A_1 A_2 A_3$ 的欧拉球心为 $E$（欧拉球心到四面体各侧面三角形的重心，垂心以及垂心到各顶点的第一个三等分点距离相等），外接球半径为 $R$则
\[
\frac{4}{9} R^2<\sum_{i=0}^3 E A_i^2 \leq 4 R^2
\]等号成立的充要条件是 $E$ 与外心 $O$ 重合