Forgot password
 Register account
View 130|Reply 3

[几何] 每个整数点被半径为$\epsilon$的圆盘包围,来自 $O$ 的每条射线都与圆盘相交。

[Copy link]

3200

Threads

7827

Posts

52

Reputation

Show all posts

hbghlyj posted 2024-5-28 16:04 |Read mode
Geometry of Surfaces, John Stillwell, Springer (1992), page 34, Exercise 2.6.2.
设 $\Bbb R^2$ 中的每个整数点 $(m, n)$ 都被半径为 $\epsilon > 0$ 的圆盘包围。证明:无论 $\epsilon$ 的值如何小,来自 $O$ 的每条射线都与圆盘相交。
olbersparadox_001[1].jpg

3200

Threads

7827

Posts

52

Reputation

Show all posts

original poster hbghlyj posted 2024-5-28 16:19
进一步,每条射线都与无数个圆盘相交,是否正确?

673

Threads

110K

Posts

218

Reputation

Show all posts

kuing posted 2024-5-28 16:20
等价于证明:对任意的正数 `\veps` 及实数 `k`,存在除 `(0,0)` 外的整数点 `(m,n)`,使得
\[\frac{\abs{km+n}}{\sqrt{1+k^2}}<\veps,\]
若 `k` 为有理数,则上式分子显然能够取到零;
若 `k` 为无理数,则 `\{km+n\mid m,n\inZ\}` 在 `\Bbb R` 上稠密,所以还是存在的。

673

Threads

110K

Posts

218

Reputation

Show all posts

kuing posted 2024-5-28 16:31
Last edited by kuing 2024-5-28 16:37
hbghlyj 发表于 2024-5-28 16:19
进一步,每条射线都与无数个圆盘相交,是否正确?
应该也是正确的。
还是像楼上那样,若 `k` 为有理数结论显然;
若 `k` 为无理数:
对于 `\veps`,设存在的 `(m,n)` 使 `\frac{\abs{km+n}}{\sqrt{1+k^2}}=\veps_1<\veps`。
那么对于 `\veps_1`,又会存在另一个 `(m_1,n_1)` 使 `\frac{\abs{km_1+n_1}}{\sqrt{1+k^2}}=\veps_2<\veps_1`。
如此类推,可无穷地操作下去(因为 `\veps_i` 总不会是零),所以这些 `(m_i,n_i)` 都满足相交。

Quick Reply

Advanced Mode
B Color Image Link Quote Code Smilies
You have to log in before you can reply Login | Register account

$\LaTeX$ formula tutorial

Mobile version

2025-7-15 15:09 GMT+8

Powered by Discuz!

Processed in 0.015552 seconds, 30 queries