每个整数点被半径为$\epsilon$的圆盘包围，来自 $O$ 的每条射线都与圆盘相交。

hbghlyj

Geometry of Surfaces, John Stillwell, Springer (1992), page 34, Exercise 2.6.2.
设 $\Bbb R^2$ 中的每个整数点 $(m, n)$ 都被半径为 $\epsilon > 0$ 的圆盘包围。证明：无论 $\epsilon$ 的值如何小，来自 $O$ 的每条射线都与圆盘相交。

hbghlyj

进一步，每条射线都与无数个圆盘相交，是否正确？

kuing

等价于证明：对任意的正数 `\veps` 及实数 `k`，存在除 `(0,0)` 外的整数点 `(m,n)`，使得
\[\frac{\abs{km+n}}{\sqrt{1+k^2}}<\veps,\]
若 `k` 为有理数，则上式分子显然能够取到零；
若 `k` 为无理数，则 `\{km+n\mid m,n\inZ\}` 在 `\mbb R` 上稠密，所以还是存在的。

kuing

hbghlyj 发表于 2024-5-28 16:19
进一步，每条射线都与无数个圆盘相交，是否正确？

应该也是正确的。
还是像楼上那样，若 `k` 为有理数结论显然；
若 `k` 为无理数：
对于 `\veps`，设存在的 `(m,n)` 使 `\frac{\abs{km+n}}{\sqrt{1+k^2}}=\veps_1<\veps`。
那么对于 `\veps_1`，又会存在另一个 `(m_1,n_1)` 使 `\frac{\abs{km_1+n_1}}{\sqrt{1+k^2}}=\veps_2<\veps_1`。
如此类推，可无穷地操作下去（因为 `\veps_i` 总不会是零），所以这些 `(m_i,n_i)` 都满足相交。