锐角三角形，中线与底边的比值范围

Zach

$  锐角三角形ABC，BC中点为M，令k=\dfrac{AM}{BC}，$
$求k的范围$
最大值是无穷大，最小值呢？$

战巡

如图
对于给定的$BC$而言，作以$BC$为直径的圆$M$，那么对于一个锐角三角形，$A$必须要在那两条垂线之间，且位于圆外

这就很显然会有$AM>A'M=\frac{BC}{2}$，另一头的极限当然就是$\frac{1}{2}$

其妙

\begin{aligned}
&\text{因为}\cos A>0\Rightarrow b^{2}+c^{2}>a^{2} , \\
&\text{故} (\frac{AM}{BC})^{2}=\frac{\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})-\frac{1}{4}a^{2}}{a^{2}}>\frac{\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4} , \\
&\text{故}\frac{AM}{BC}>\frac{1}{2}
\end{aligned}