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走走看看
Posted 2024-6-1 13:00
Last edited by hbghlyj 2025-3-17 00:51为了便于搞明白问题，把第二问的参考答案也发上来。
（2）证明：当 $Y<n$ 时，$P(Y=k)=C^1_{k-1} \frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{k-2} \times \frac{1}{2}=\frac{k-1}{2^k},(k=2,3,4, \cdots, n-1), n \geqslant 3$，
当 $Y=n$ 时，$P(Y=n)=1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{n-2}{2^{n-1}}\right), n \geqslant 3$，
记 $S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{n-2}{2^{n-1}}$，
则 $\frac{1}{2} S_n=\frac{1}{2^3}+\frac{2}{2^4}+\cdots+\frac{n-2}{2^n}$，
两式相减得 $\frac{1}{2} S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{-1}}-\frac{n-2}{2^n}=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n-2}{2^n}=\frac{1}{2}-\frac{n}{2^n}$，
$\therefore S_n=1-\frac{n}{2^{n-1}}, \therefore P(Y=n)=1-1+\frac{n}{2^{n-1}}=\frac{n}{2^{n-1}}$.
所以 $E(Y)=\sum_{k=2}^{n-1} k P(Y=k)+n P(Y=n)=\sum_{k=2}^{n-1} \frac{k(k-1)}{2^k}+\frac{n^2}{2^{n-1}}$，
记 $a_n=E(Y)-\sum_{k=2}^{n-1} \frac{k(k-1)}{2^k}=\frac{n^2}{2^{n-1}}(n \geqslant 3)$，
则 $a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^2-2 n^2}{2^n}=\frac{-(n-1)^2+2}{2^n}$，
当 $n \geqslant 3$ 时，$\frac{-(n-1)^2+2}{2^n}<0$，所以 $a_{n+1}<a_n$，且 $a_3=\frac{9}{4}$，
所以 $E(Y)-\sum_{k=2}^{n-1} \frac{k(k-1)}{2^k} \leqslant \frac{9}{4}$ 成立．
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ic_Mivoya
Posted 2024-6-1 11:41
