求$l\times m\times n$的最大值

Zach

设三角形$ABC$内部（含边界）一点 到三顶点之距离分别为$PA=l，PB=m，PC=n，$
求$l\times m\times n$的最大值？（不妨令此三角形三边$a\geqslant b\geqslant c$）

Czhang271828

先证明结果在边界取到: 记复数坐标 $z_1=A$, $z_2=B$, $z_3=C$, 以及 $w=P$. 那么
$$
(w-z_1)(w-z_2)(w-z_3)\quad (w\in \triangle)
$$
在边界取到最大模长 (全纯函数的极大模定理).

考虑 $w=\lambda z_1+(1-\lambda) z_2$, 置 $\lambda\in [0,1]$, 则上式为
$$
\lambda (\lambda-1)\cdot [\lambda (z_1-z_2)+(z_2-z_3)]\cdot (z_1-z_2)^2.
$$
记 $z_0=\frac{z_2-z_3}{z_1-z_2}$, 则上式模长平方取最大值时, 式
$$
\lambda^2(1 -\lambda)^2 (\lambda^2+2\mathrm{Re}(z_0)\lambda +|z_0|^2)
$$
取最大值. 求导得

(原答案求导有误)


$$
(2\lambda-1)(\lambda^2+2\mathrm{Re}(z_0)\lambda +|z_0|^2)+\lambda(1-\lambda)(\lambda+\mathrm{Re}(z_0))=0.
$$
化简, 得
$$
\lambda^3+3\mathrm{Re}(z_0)\lambda^2 +(2|z_0|^2-\mathrm{Re}(z_0))\lambda -|z_0|^2=0.
$$
这方程没辙了. 不过可以出 (凑) 一些题目使得 $\lambda=\frac{1}{2}$ 或是 $\frac{1}{3}$.

hbghlyj

设三角形$ABC$内部（含边界）一点$P$，求$|PA|\times |PB|\times |PC|$的平均值？

hbghlyj

设三角形$ABC$内部（含边界）一点$P$，求$|PA|^2|PB|^2|PC|^2$的平均值？
$$\frac{35(a^4b^2+a^4c^2+a^2 b^4+a^2c^4+b^4 c^2+ b^2 c^4)-17(a^6+ b^6+c^6)}{5040}$$
例：当$a=b=c=\sqrt3$时，$|PA|^2|PB|^2|PC|^2$的平均值$=\frac{6\times35(\sqrt{3})^6-3\times17(\sqrt{3})^6}{5040}=\frac{477}{560}$

验证：

1. S=3 Sqrt[3]/4;
2. Integrate[Abs[(x+y I)^3-1]^2,{x,y}∈Triangle[{{1,0},{-1/2,Sqrt[3]/2},{-1/2,-Sqrt[3]/2}}]]/S

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