复数$z_1,z_2,z_3$, $|z_1z_2z_3|$的不等式

hbghlyj

$z_1,z_2,z_3\inC$
$(z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2+(z_3-z_1)^2=0$，则$$|z_1z_2z_3|\ge\abs{\frac{z_1+z_2+z_3}3}^3-\abs{\frac{z_1-z_2}{\sqrt3}}^3$$

Czhang271828

提示: 对条件移项, 得
$$
(z_1-z_2)^2+(z_1-z_2)(z_2-z_3)+(z_2-z_3)^2=0.
$$
从而 $z_2$ 处的拐角 $\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}$ 是 $\pi/3$. 三角形等边.

Aluminiumor

考虑 $z_1=z_2=z_3\neq0$ ,不等式应该不成立？

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-6-3 09:51
三角形等边.

懂了。令$z_1=z+1,z_2=z+e^{2\pi i/3},z_3=z+e^{4\pi i/3}$，变成$|z^3+1|\ge|z|^3-1$，三角不等式。