三角形的边长$a,b,c$，求$\sum a^4b^2/\sum a^6$的范围？

hbghlyj

三角形的边长$a,b,c$，求$a^4b^2+a^4c^2+a^2 b^4+a^2c^4+b^4 c^2+ b^2 c^4\over a^6+ b^6+c^6$的范围？
（根据此帖能取到$\frac{17}{35}$）
哦哦，我知道了。${a^4b^2+a^4c^2+a^2 b^4+a^2c^4+b^4 c^2+ b^2 c^4\over a^6+ b^6+c^6}\ge0$，当$a=1,b=c,c\to\infty$时取等。

$${(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)\over a^6+ b^6+c^6}\overset{\text{Cauchy}}\le\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4}\overset{\text{Cauchy}}\le1^4+1^4+1^4=3$$
$\implies{a^4b^2+a^4c^2+a^2 b^4+a^2c^4+b^4 c^2+ b^2 c^4\over a^6+ b^6+c^6}\le2$，当 $a=b=c$ 时取等。

最后，因为${a^4b^2+a^4c^2+a^2 b^4+a^2c^4+b^4 c^2+ b^2 c^4\over a^6+ b^6+c^6}$是连续函数，能取到0和2之间的所有值。