一个三角相关的不等式

lemondian

设$\alpha ,\beta ,\gamma \in(0,\dfrac{\pi}{2})$，满足$\sin^2\alpha +\sin^2\beta+\\sin^2\gamma =1$ ，求使得$\sum\sin\alpha \sqrt{\sin^2\beta +\sin^2\gamma }\leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\lambda (\sin\alpha +\sin\beta +\sin\gamma )$最小的实数$\lambda $。

kuing

这根三角有个鸟关系？
用 a,b,c 来代替不是完全一样吗？三角根本多余啊

ic_Mivoya

考察 $\sin^2\alpha=\sin^2\beta=\sin^2\gamma=\dfrac13$ 的情形，得到 $\lambda\geqslant\dfrac{\sqrt6}6.$

又易证局部不等式 $\sin\alpha\cos\alpha\leqslant \dfrac{\sqrt2}6+\dfrac{\sqrt6}6\sin \alpha,$ 轮换求和即得 $\lambda=\dfrac{\sqrt6}6$ 时原不等式成立.

因此 $\lambda_{\min}=\dfrac{\sqrt6}6.$

kuing

琴生都行，这题也太弱。

等价于 `a`, `b`, `c>0`, `a+b+c=1` 求最小 `\lambda` 使
\[\sum\sqrt{a(1-a)}\leqslant\frac{\sqrt2}2+\lambda\sum\sqrt a,\]
取 `a=b=c=1/3` 知 `\lambda\geqslant\sqrt6/6`，而当 `\lambda=\sqrt6/6` 时设 `f(x)=\sqrt{x(1-x)}-\lambda\sqrt x`，求二阶导
\[f''(x)=-\frac1{4\sqrt{x^3(1-x)^3}}+\frac\lambda{4\sqrt{x^3}}<-\frac1{4\sqrt{x^3}}+\frac\lambda{4\sqrt{x^3}}<0,\]
所以 `f(a)+f(b)+f(c)\leqslant3f(1/3)=\sqrt2/2`，即当 `\lambda=\sqrt6/6` 时不等式成立。

lemondian

ic_Mivoya 发表于 2024-6-6 00:10
考察 $\sin^2\alpha=\sin^2\beta=\sin^2\gamma=\dfrac13$ 的情形，得到 $\lambda\geqslant\dfrac{\sqrt6}6. ...

@ic_Mivoya：
如何证这个局部不等式$\sin\alpha\cos\alpha\leqslant \dfrac{\sqrt2}6+\dfrac{\sqrt6}6\sin \alpha$？

ic_Mivoya

lemondian 发表于 2024-6-6 20:04
@ic_Mivoya：
如何证这个局部不等式$\sin\alpha\cos\alpha\leqslant \dfrac{\sqrt2}6+\dfrac{\sqrt6}6\si ...

求导即可