刚考完的函数与导数题

lemondian

已知函数$f(x)=\ln\dfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3$。
(1)若$b=0$，且$f'(x)\geqslant 0$，求$a$的最小值；
(2)证明：由线$y=f(x)$是中心对称图形；
(3)若$f(x)>-2$当且仅当$1<x<2$，求$b$的取值范围。

isee

(2) 送分，可能是考心态：(1,a).

lemondian

问题（3）如何搞？

战巡

lemondian 发表于 2024-6-8 10:41
问题（3）如何搞？

首先，这个玩意不管怎么说，在$0<x<2$内都是连续函数，其值域不可能出现跳跃，既然$f(x)>-2$当且仅当$1<x<2$，那说明$0<x\le 1$时必然有$f(x)\le -2$.

然后我们来处理一个核心问题——连续性，要保证连续性，必须得有$f(1)=-2$，这里动用反证法：假设$f(1)=a<-2$，那么对任意正数$0<\delta<1$，都会有$f(1+\delta)>-2$，这说明在$x=1$这个点是不连续的，显然不可能，因此$f(1)=a=-2$必然成立。

也就是说
\[f(x)=\ln(\frac{x}{2-x})-2x+b(x-1)^3\]
（2）里面已经证明了$f(x)$关于$(1,f(1))$对称，也就是如果$1<x<2$时$f(x)>-2$，那一定会保证$0<x<1$时$f(x)<-2$，我们只需要解决一边就行了。

鉴于$f(1)=-2$，那要保证$x>1$时$f(x)>f(1)=-2$的一个必要条件，是$f'(1)\ge 0$，不过这里$f'(1)=0$，没啥好看的，我们被迫去看三阶导，即$f'''(1)\ge 0$。


\[f'''(x)=6b+\frac{2}{(2-x)^3}+\frac{2}{x^3}\]
\[f'''(1)=6b+4\ge 0\]
\[b\ge-\frac{2}{3}\]
此时
\[f'(x)=\frac{(x-1)^2(-3bx^2+6b+2)}{x(2-x)}=\frac{(x-1)^2[-3b(x-1)^2+2+3b]}{x(2-x)}\]
当$b\ge 0$时
\[-3b(x-1)^2+2+3b\ge -3b(2-1)^2+2+3b=2>0\]
当$-\frac{2}{3}\le b<0$时
\[-3b(x-1)^2+2+3b\ge 2+3b\ge 0\]
也就是说此时干脆$f(x)$在$1<x<2$内就是递增的。

那事情就结了，有
\[b\ge -\frac{2}{3}\]

kuing

由 `f(x)>-2\iff1<x<2` 知 `f(1)\leqslant-2`，假设 `f(1)<-2`，因为 `f(1.5)>-2`，而 `f(x)` 在定义域内连续，则存在 `x_0\in(1,1.5)` 使得 `f(x_0)=-2`，这就与 `f(x)>-2\iff1<x<2` 相矛盾，所以 `f(1)=-2`，即 `a=-2`，所以
\begin{align*}
f(x)&=\ln\frac x{2-x}-2x+b(x-1)^3,\\
f'(x)&=\frac1x+\frac1{2-x}-2+3b(x-1)^2\\
&=\frac{2(x-1)^2}{x(2-x)}+3b(x-1)^2\\
&=3(x-1)^2\left(\frac23\cdot\frac1{1-(x-1)^2}+b\right),
\end{align*}
当 `b\geqslant-3/2` 时
\[\frac23\cdot\frac1{1-(x-1)^2}+b\geqslant\frac23+b\geqslant0\riff f'(x)\geqslant0,\]
当且仅当 `x=1` 时取等，所以当 `x<1` 时 `f(x)<f(1)=-2`，当 `x>1` 时 `f(x)>f(1)=-2`，符合要求；

当 `b<-3/2` 时，令
\[\frac23\cdot\frac1{1-(x-1)^2}+b=0\riff x=1\pm\sqrt{1+\frac2{3b}},\]
由此得到 `f(x)` 的递减区间
\[\left(1-\sqrt{1+\frac2{3b}},1+\sqrt{1+\frac2{3b}}\right),\]
所以当 `1<x<\sqrt{1+\frac2{3b}}` 时 `f(x)<f(1)=-2`，不满足要求。

综上知 `b` 的范围就是 `[-3/2,+\infty)`。

isee

整出 $a=-2$ 后，临场我可能会选择分参直接干，哪怕可能会上极限~

lemondian

isee 发表于 2024-6-9 17:41
整出 $a=-2$ 后，临场我可能会选择分参直接干，哪怕可能会上极限~

分参，可能要洛一下