在$y=x^3$的奇点[0,1,0]观察它

hbghlyj

$P:(0,-1)$
$l:y=1$
过$P$作任意直线交$l$于$Q$，交$y=x^3$于$R$（緑色）
则$R$关于$PQ$的调和共轭在$y^2=x^3$上（红色）。

en.wikipedia.org/wiki/Semicubical_parabola#Relation_between_a_se ... and_a_cubic_function
$\ldots$involutory perspectivity$\ldots$The cusp (origin) of the semicubical parabola is exchanged with the point at infinity of the y-axis.

infinity of the y-axis就是[0,1,0]吧。借助这个射影变换可以在$y=x^3$的奇点[0,1,0]观察它。

hbghlyj

有奇点的二次曲线必是可约的（两条直线）。
有奇点的不可约三次曲线必是有理的，而且只有1个奇点，如$y=x^3$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-6-6 11:07
$\ldots$的 function field$\ldots$

a variety 是有理的 当且仅当 其 function field 纯超越：math.stackexchange.com/questions/284767/
例如，$y^2=1-x^2$有理，其 function field 是$k(x + \sqrt{1-x^2})$，且$k(x + \sqrt{1-x^2})/k$纯超越。
例如，$y=x^3$有理，其 function field 是$k(x)$，且$k(x)/k$纯超越。
例如，$y^2=x^3-x$不是有理的，其 function field 是$k(x, \sqrt{x^3-x})$，且$k(x, \sqrt{x^3-x})/k$不是纯超越的：math.stackexchange.com/questions/5278/