求$f(x)=\sin^tx+\cos^tx$取值范围

lemondian

设$f(x)=\sin^tx+\cos^tx,x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$，求$f(x)$的取值范围。

kuing

我说，你在这论坛都这么多年了，怎么连这种入门级别的小题都不能自己解决？

Czhang271828

不妨设 $0\leq x\leq \pi/4$, $t\neq 0$, 求导得
$$
f^\prime(x)=t\cos x\sin ^{t-1}x-t\sin x\cos ^{t-1}x.
$$
若有零点, 只能是 $\tan x\in \{0,1,\infty\}$ 的情形. 所有最值都能在 $x\in \{0,\pi/4\}$ 取到.

realnumber

0.5t=m,$\sin^2 x=0.5+s$
1楼问题就是
$f(x)=(0.5+s)^m+(0.5-s)^m,s\in [-0.5,0.5]$